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数学中,特别是测度论中,外测度是一个定义在给定集合上的扩展实数值函数,并满足几条附加条件。一般的外测度理论由C. Carathéodory引进,目的是给可测集可数可加测度的理论建立基础。C. Carathéodory关于外测度上所做的工作应用于测度理论中的集合论上(例如外测度用于证明Carathéodory扩张定理)。豪斯多夫也用此来定义一个类似维数的度量,现在称为豪斯多夫维数

从长度,面积及体积归纳出來的测度概念,对于很多抽象不规则的集合是很有用的。我们希望定义一个广义的测度函数,使其滿足以下4个条件:

  1. 任意实数区间 有测度
  2. 測度函數 是非負扩展实数值函數,定义在的所有子集合上;
  3. 平移不变性:任给集合和实数 有相同的测度(这里,);
  4. 可数可加律:对的任意的两两无交的子集序列,有:

事实上,这几条要求是不相容的。这样的測度函數 不能定义在的所有子集上,也就是说,不可测集是存在的。构造外测度的目的就是选出那些可测集合,使得可数可加性得到满足。

定義编辑

外測度是从  冪集合映到  的函數

 

且滿足以下條件:

 
 
  • 次可加性: 对 X 的任意子集序列  (不管兩兩交集是否空集合)
 

接著可以借由外測度來定义 X 中的可測集合:如果子集合   -可测的,当且仅当对   的任意子集合   有:

 

所有的  -可测集合构成了一个 -代数 ,且如果  限制在我們剛定義的可测集合上時,  會有可数可加的完备测度性質。这个方法是Carathéodory构造出来的,是构造勒贝格测度积分理论的重要方法。


外測度与拓撲學编辑

假設  是一個度量空間 是一個在  之上的外測度。若  有以下性質 :

只要

 

就有

 

那么称 是一个度量外测度

如果  上的度量外测度,那么 的每个Borel子集都是 -可测的。

外測度的构造编辑

有几种方法来构造一个集合上的外测度。下面两种是特别有用的。

 为一集合,  的包含空集子集族  上的非负扩展实数值函数,且  在空集处取零。

那么定义

 

 是一个外测度。

另一种方法在度量空间上更有效,因为它直接得到了度量外测度。设  是一个度量空间,  的包含空集的子集族,  上的非负扩展实数值函数,且 在空集处取零。那么,对任意 ,令

 

 

   成立,因为 减小时,下确界是在更小的集合上取得的。所以

 

存在(可能是无穷大)。

这样构造的 是一个度量外测度。这个构造也就是定义豪斯多夫维数时用的外测度。

參考编辑

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950
  • M. E. Munroe, Introduction to Measure and Integration, Addison Wesley, 1953