测度

通俗的说，测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小：空集的测度是0；集合变大时测度至少不会减小（因为要加上变大的部分的测度，而它是非负的）。

数学上，测度（英語：measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。

测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。

定义

$X$是個集合，定義在 $X$上的另一集合 ${\mathcal {A}}$ ，${\mathcal {A}}$中的元素是 $X$的子集合，而且是一個σ-代數，测度 $\mu$（详细的说法是可數可加的正测度）是個定義在 ${\mathcal {A}}$ 上的函数，于$[0,\infty ]$中取值，且满足以下性质：

• 非負性質：對所有的 $E\in {\mathcal {A}}$，有 $\mu (E)\geq 0$，
• 空集合的测度为零：$\mu (\varnothing )=0$，

• 可数可加性，或称 $\sigma$-可加性：若 $\{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ 为 ${\mathcal {A}}$ 中可数个两两不相交元素的集合，換句話講，對所有 $E_{i},E_{j}\in \{E_{k}\}_{k=1}^{\infty }$，$i\neq j$ 有 $E_{i}\cap E_{j}=\varnothing$，則可得

$\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$。

这样的三元组$(X,{\mathcal {A}},\mu )$称为一个测度空间，而${\mathcal {A}}$ 中的元素称为这个空间中的可测集合。

性质

下面的一些性质可从测度的定义导出：

单调性

测度$\mu \$的单调性： 若$E_{1}\$和$E_{2}\$为可测集，而且$E_{1}\subseteq E_{2}$，则$\mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})$。

可数个可测集的并集的测度

若$E_{1},E_{2},E_{3}\cdots$为可测集（不必是两两不交的），则集合$E_{n}\$的并集是可测的，且有如下不等式（「次可列可加性」）：

$\mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$

如果还满足并且对于所有的$n\$，$E_{n}\$⊆$E_{n+1}\$，则如下极限式成立：

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).$

可数个可测集的交集的测度

若$E_{1},E_{2},\cdots$为可测集，并且对于所有的$n\$，$E_{n+1}\$⊆$E_{n}\$，则$E_{n}\$的交集是可测的。进一步说，如果至少一个$E_{n}\$的测度有限，则有极限：

$\mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$

如若不假设至少一个$E_{n}\$的测度有限，则上述性质一般不成立。例如对于每一个$n\in \mathbb {N}$，令

$E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R}$

这裡，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。

$\sigma$-有限测度

主条目：σ-有限测度

如果$\mu (X)\$是一个有限实数（而不是$\infty$），则测度空间$(X,{\mathcal {A}},\mu )$称为有限测度空间。非零的有限测度与概率测度类似，因为可以通过乘上比例因子${\frac {1}{\mu (X)}}$进行归一化。如果$X\$可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为$\sigma$-有限测度空间。如果测度空间中的一个集合$A\$可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，就称$A\$具有$\sigma$-有限测度。

作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是$\sigma$-有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为$\infty$。这样的测度空间就不是$\sigma$-有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。$\sigma$-有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，$\sigma$-有限性可以类比于拓扑空间的可分性。

完备性

对于一个可测集$N$，若$\mu (N)=0\$成立，则称为零测集，其子集称为可去集。

一个可去集未必是可测的，但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：

考虑$X$的所有与某个可测集$E$仅差一个可去集的子集$F$，可得到$E$与$F$的对称差包含于一个零测集中。

由这些子集$F$生成的σ代数，并定义$\mu (F)=\mu (E)$，所得到的测度即为完备测度。

例子

下列是一些测度的例子（顺序与重要性无关）。

• 计数测度　定义为$\mu (S)=S\$的「元素个数」。
• 一维勒贝格测度是定义在$\mathbb {R}$的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足$\mu ([0,1])=1\$的唯一测度。
• Circular angle测度是旋转不变的。
• 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。
• 恆零测度定义为$\mu (S)=0\$，对任意的$S\$。
• 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。

其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。

相关条目

• 外测度（Outer measure）
• 几乎处处（Almost everywhere）
• 勒贝格测度（Lebesgue measure）

参考文献

• R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
• D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
• Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
• M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.