测度 (英語:Measure )是種對特定一群子集 指定數值的函数 ,直觀上相当於体积 ,也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。传统的黎曼积分 是在区间 上进行的,為了把积分推广到更一般的集合上,人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度 ,它從
n
{\displaystyle n}
维欧式空间
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
出發,概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。
通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。
研究測度的學問被統稱為测度论 ,因為指定的數值通常是非負实数 ,所以测度论通常會被視為实分析 的一个分支,它在数学分析 和概率论 有重要的地位。
要正式定義測度之前,必須先要決定怎樣的一群子集合,是「可以測量的」,詳細請見σ -代數 。
集合
X
{\displaystyle X}
有σ -代數
Σ
{\displaystyle \Sigma }
,函数
μ
:
Σ
→
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \mu :\Sigma \to [0,\,\infty )}
若满足:
μ
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu (\varnothing )=0}
(空集合的测度为零)可数可加性 (
σ
{\displaystyle \sigma }
-可加性):若
{
E
n
∈
Σ
}
n
∈
N
{\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
是
Σ
{\displaystyle \Sigma }
中两两不相交 的集合序列 ,也就是說,對所有
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
都有
E
i
∩
E
j
=
∅
{\displaystyle E_{i}\cap E_{j}=\varnothing }
,則有
μ
(
⋃
n
∈
N
E
n
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
E
n
)
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n})}
。那
μ
{\displaystyle \mu }
被稱為定義在
Σ
{\displaystyle \Sigma }
上的一個非負測度 ,或簡稱為測度 。為了敘述簡便起見,有時會直接稱
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
为一测度空间 。
如果將
μ
{\displaystyle \mu }
的值域擴展到複數 ,也就是說
μ
:
Σ
→
C
{\displaystyle \mu :\Sigma \to \mathbb {C} }
,那
μ
{\displaystyle \mu }
會被進一步稱為複數測度 。[1]
定義的分歧 编辑
照著上述定義中的可数可加性去推論,不少母集合本身的測度值(如對
R
n
{\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}
本身取勒贝格测度 )會變成无穷大 而實際上不存在,為了讓上述定義在最小更動的情況下適用,不少書籍[2] 會形式上將无穷大 視為一個數,而容許測度取值為無窮大;容許這樣定義的書籍會將只容許有限实数 值的測度稱為(非負)有限測度 。但容許測度取值無窮大須額外申明,至少有個可測集合
E
∈
Σ
{\displaystyle E\in \Sigma }
使得
μ
(
E
)
≥
0
{\displaystyle \mu (E)\geq 0}
,否則這樣會容許測度值全為無窮大的病態情況。
更進一步的,如果對測度空間
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\,\Sigma ,\,\mu )}
來說,母集合
X
{\displaystyle X}
都可以表示為某個
Σ
{\displaystyle \Sigma }
的可測集合序列
{
E
n
∈
Σ
}
n
∈
N
{\displaystyle \{E_{n}\in \Sigma \}_{n\in \mathbb {N} }}
的并集 :
X
=
⋃
n
∈
N
E
n
{\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}
則有限測度
μ
{\displaystyle \mu }
會被進一步的稱為(非負)σ-有限测度 。
测度
μ
{\displaystyle \mu \ }
的单调性 :
若
E
1
{\displaystyle E_{1}\ }
和
E
2
{\displaystyle E_{2}\ }
为可测集,而且
E
1
⊆
E
2
{\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}}
,则
μ
(
E
1
)
≤
μ
(
E
2
)
{\displaystyle \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})}
。
若
E
1
,
E
2
,
E
3
⋯
{\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3}\cdots }
为可测集(不必是两两不交的),则集合
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的并集是可测的,且有如下不等式(「次可列可加性 」):
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
≤
∑
i
=
1
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu (\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i})\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})}
如果还满足并且对于所有的
n
{\displaystyle n\ }
,
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
⊆
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
,则如下极限式 成立:
μ
(
⋃
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
.
{\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i}).}
若
E
1
,
E
2
,
⋯
{\displaystyle E_{1},E_{2},\cdots }
为可测集,并且对于所有的
n
{\displaystyle n\ }
,
E
n
+
1
{\displaystyle E_{n+1}\ }
⊆
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
,则
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的交集 是可测的。进一步说,如果至少一个
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的测度有限 ,则有极限:
μ
(
⋂
i
=
1
∞
E
i
)
=
lim
i
→
∞
μ
(
E
i
)
{\displaystyle \mu (\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})}
如若不假设至少一个
E
n
{\displaystyle E_{n}\ }
的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
,令
E
n
=
[
n
,
∞
)
⊆
R
{\displaystyle E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R} }
这裡,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。
^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124.
^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17.
R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability . Cambridge University Press.
D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory . Torres Fremlin.
Paul Halmos , 1950. Measure theory . Van Nostrand and Co.
M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration . Addison Wesley.
Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8 . Emphasizes the Daniell integral .