测度

對一個給定集合的某些子集指定一個數的函數
(重定向自测度论

测度(英語:Measure)是種對特定一群子集指定數值的函数,直觀上相当於体积,也就是指定一個代表體積大小的數值給每個可以測量大小的空間。传统的黎曼积分是在区间上进行的,為了把积分推广到更一般的集合上,人們就发展出测度的概念。一个特别重要的例子是勒贝格测度,它從 维欧式空间 出發,概括了傳統长度、面积和体积等等的概念。

通俗的说,测度把每个集合映射到非负实数来规定这个集合的大小:空集的测度是0;集合变大时测度至少不会减小(因为要加上变大的部分的测度,而它是非负的)。

研究測度的學問被統稱為测度论,因為指定的數值通常是非負实数,所以测度论通常會被視為实分析的一个分支,它在数学分析概率论有重要的地位。

定义编辑

要正式定義測度之前,必須先要決定怎樣的一群子集合,是「可以測量的」,詳細請見σ-代數

集合  σ-代數  函数   若满足:

  •   (空集合的测度为零)
  • 可数可加性(  -可加性):若    中两两不相交的集合序列,也就是說,對所有   都有  ,則有
 

  被稱為定義在   上的一個非負測度,或簡稱為測度。為了敘述簡便起見,有時會直接稱   为一测度空间

如果將   的值域擴展到複數,也就是說   ,那   會被進一步稱為複數測度[1]

定義的分歧编辑

照著上述定義中的可数可加性去推論,不少母集合本身的測度值(如對   本身取勒贝格测度)會變成无穷大而實際上不存在,為了讓上述定義在最小更動的情況下適用,不少書籍[2]會形式上將无穷大視為一個數,而容許測度取值為無窮大;容許這樣定義的書籍會將只容許有限实数值的測度稱為(非負)有限測度。但容許測度取值無窮大須額外申明,至少有個可測集合   使得   ,否則這樣會容許測度值全為無窮大的病態情況。

更進一步的,如果對測度空間   來說,母集合   都可以表示為某個   的可測集合序列  并集

 

則有限測度   會被進一步的稱為(非負)σ-有限测度

性质编辑

单调性编辑

测度 单调性: 若  为可测集,而且 ,则 

可数个可测集的并集的测度编辑

 为可测集(不必是两两不交的),则集合 的并集是可测的,且有如下不等式(「次可列可加性」):

 

如果还满足并且对于所有的   ,则如下极限式成立:

 

可数个可测集的交集的测度编辑

 为可测集,并且对于所有的   ,则 交集是可测的。进一步说,如果至少一个 的测度有限,则有极限:

 

如若不假设至少一个 的测度有限,则上述性质一般不成立。例如对于每一个 ,令

 

这裡,全部集合都具有无限测度,但它们的交集是空集。

完备性编辑

对于一个可测集 ,若 成立,则称为零测集,其子集称为可去集

一个可去集未必是可测的,但零测集一定是可去集。

如果所有的可去集都可测,则称该测度为完备测度

一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度:

考虑 的所有与某个可测集 仅差一个可去集的子集 ,可得到  对称差包含于一个零测集中。

由这些子集 生成的σ代数,并定义 ,所得到的测度即为完备测度。

例子编辑

下列是一些测度的例子(顺序与重要性无关)。

  • 计数测度 定义为 的「元素个数」。
  • 一维勒贝格测度是定义在 的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足 的唯一测度。
  • Circular angle测度旋转不变的。
  • 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广,而且也有类似的刻划。
  • 恆零测度定义为 ,对任意的 
  • 每一个概率空间都有一个测度,它对全空间取值为1(于是其值全部落到单位区间[0,1]中)。这就是所谓概率测度。见概率论公理

其它例子,包括:狄拉克测度波莱尔测度若尔当测度遍历测度欧拉测度高斯测度贝尔测度拉东测度

相关条目编辑

参考文献编辑

  1. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 124–124. 
  2. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis(Second Edition). McGRAW-HILL. 1984: 17–17. 
  • R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
  • D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
  • Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
  • M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Emphasizes the Daniell integral.

外部链接编辑