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有界函数(红色)和无界函数(蓝色)的示意图。可以看到,有界函数的图形保持在(虚线)水平带内,而无界函数的图形不保持在水平带内。

数学中,如果在某个集合X上定义的具有实数复数值的某个函数f值域有界集合,则函数f被称为有界的(或有界函数)。换句话说,存在实数M>0,使得对于集合X中的所有x,都有。有时,如果对于集合X中的所有x,都有,则函数f称为上有界的A就是它的一个上界;如果对于集合X中的所有x,都有,则函数称为下有界的B就是它的一个下界。

一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。所以,一个数列f = ( a0, a1, a2, ... ) 是有界的,如果存在一个数M >0,使得对于所有的自然数n,都有|an| ≤ M

例子编辑

  • f (x)=sin x所定义的函数f:RR是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上,则不再是有界的。
  • 函数
 

x不等于−1或1)是无界的。当x越来越接近−1或1时,函数的值就变得越来越大。但是,如果把函数的定义域限制为[2, ∞).,则函数就是有界的。

  • 函数
 

是有界的。

  • 任何一个连续函数f:[0,1] → R都是有界的。
  • 考虑这样一个函数:当x有理数时,函数的值是0,而当x无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。

参见编辑