支撑集

数学中,一个定义在集合上的函数支撑集,或简称支集,是指的一个子集,满足恰好在这个子集上非。最常见的情形是,是一个拓扑空间,比如实数轴等等,而函数在此拓扑下连续。此时,的支撑集被定义为这样一个闭集中为,且不存在闭子集也满足这个条件,即,是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包

特别地,在概率论中,一个概率分布随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。

闭支撑编辑

常见的情况出现为: 是一个拓扑空间(例如实轴或n维欧几里得空间),并且 连续的实值函数(或复值函数)。此时, 的支撑在拓扑上定义为使得 非零的 子集的闭包[1][2][3] ,即:

 

由于闭集的交集也是闭集,所以 是集合论中所有包含 支撑的闭集的交集。

例如, 定义如下:

 

 的支撑是闭区间 ,因为 在开区间 非零,其闭包为 

闭支撑的概念通常用于描述连续函数,但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义,有些作者不要求  (或  不需要)连续。[4]

紧支撑编辑

如果某函数的支撑集是   中的一个紧集,此函数被称为是紧支撑於空间   的。例如,若   是实数轴,那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上,这是函数必须在有界集外为 的一个特例。在好的情形下,紧支撑的函数所构成的集合,在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中,是稠密集的,当然在给定的具体问题中,这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的  ,一个定义在实数轴   上的函数   在无穷远处消失,可以粗略通过选取一个紧子集   来描述:

 

其中   表示  指示函数

注意,任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地,将支撑集的概念推广到分布,比如狄拉克函数:定义在直线上的  。此时,我们考虑一个测试函数  ,并且   是光滑的,其支撑集不包括  。由于   (即   作用于  )为  ,所以我们说   的支撑集为  。注意实数轴上的测度(包括概率测度)都是分布的特殊情况,所以我们也可以定义一个测度支撑集。

奇支集编辑

傅立叶分析的研究中,一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说,这个集合的元素都是所谓的奇异点,即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如,单位阶跃函数傅立叶变换,在忽略常数因子的情况下,可以被认为是 ,但这在 时是不成立的。所以很明显地, 是一个特殊的点,更准确地说,这个分布的傅立叶变换的奇支集是 ,即对于一个支撑集包括 的测试函数而言,这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分

对于多变量的分布,奇支集也可以更精确地被描述为波前集,从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象,如在试图将分布'相乘'时候导致的问题(狄拉克函数的平方是不存在的,因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交)。

支撑族编辑

支撑族是一个抽象的拓扑概念,昂利·嘉当在一个中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候,在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。 的一组闭子集 是一个支撑族,如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张 的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何 ,在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间,并且存在一些 是一个邻域。如果 是一个局部紧空间,并且是豪斯多夫空间,所有的紧子集组成的族满足上的条件,那么就是仿紧化的。

参考文献编辑

  1. ^ Folland, Gerald B. Real Analysis, 2nd ed.. New York: John Wiley. 1999: 132. 
  2. ^ Hörmander, Lars. Linear Partial Differential Equations I, 2nd ed.. Berlin: Springer-Verlag. 1990: 14. 
  3. ^ Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Bocconi & Springer Series. Berlin: Springer-Verlag. 2011: 678. ISBN 978-88-470-1780-1. doi:10.1007/978-88-470-1781-8. 
  4. ^ Rudin, Walter. Real and Complex Analysis, 3rd ed.. New York: McGraw-Hill. 1987: 38.