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最大下界

数学中,某个集合 X子集 E下确界(英语:infimum 或 infima,记为 inf E )是小于或等于的 E 所有其他元素的最大元素,其不一定在 E 內。所以还常用术语最大下界(简写为 glbGLB)。在数学分析中,实数的下确界是非常重要的常见特殊情况。但這個定义,在更加抽象的序理论的任意偏序集合中,仍是有效的。

下确界是上确界概念的对偶

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实数集合的下确界编辑

数学分析中,实数的子集 S下确界最大下界記为 inf(S),定义为小于等于在 S 中的所有数的最大实数。如果没有这样的数存在(因为 S 没有下界),则我们定义 inf(S) = −∞。如果 S空集,我们定义 inf(S) = ∞(参见扩展的实数轴)。

实数的一个重要性质是,任何實數集都有下确界(实数的任何有界非空子集都在非扩展的实数轴中有下确界)。

例子:

 
 
 
 

如果一个集合有最小元素,如同第一个例子,则这个最小元素就是这个集合的下确界。如后三个例子展示的,一个集合的下确界不一定属于这个集合。

下确界的概念和上确界在下列意义下是对偶的

 

这里  

一般的说,为了证明 inf(S) ≥ A,只需要证明对于所有 S 中的 xxA。证明 inf(S) ≤ A ,則需:对于任何 ε > 0,都存在 S 中的一个元素 x 使得 xA + ε(当然,如果 S 有一个元素 x 使 xA,命題立即成立)。

参见:下极限

在偏序集合内的下确界编辑

下确界的定义容易推广到任何偏序集合的子集上,并在序理论中有重要意義。在序理论,特别是格理论中,最大下界也叫做英语:meet)。

形式的说,偏序集合(P,≤)的子集 S 的下确界是 P 的一个元素 l 使得

  1. 对于所有 S 中的 xlx
  2. 对于任何 P 中的 p,如果对于所有 S 中的 x 都有 px,pl

如果這樣的元素存在,則其必然唯一,但是它不一定存在。因此已知特定下确界存在的序就特别有价值。详情请参见完備性英语Completeness (order theory)

外部链接编辑

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