应变协调性

应变协调性(英語:strain compatibility)在连续介质力学中是指使得物体的位移单值连续的应变张量所满足的条件。应变协调是可积条件的特殊情况。1864年,法国力学家圣维南最早得到了线弹性体的协调条件。1886年,意大利数学家贝尔特拉米对此进行了严格证明。[1]

无限小应变的协调条件编辑

二维编辑

对于二维无限小应变问题,其应变-位移关系为

 

其所对应的协调条件为

 

三维编辑

在三维问题中,共有六个条件需满足。除了二维问题中的一个协调条件扩展为三个条件之外,另外三个协调条件的形式为

 

使用指标记号可以将所有六个条件合写为[2]

 

其中 列维-奇维塔符号。使用张量符号则可以表示成

 

二阶张量

 

被称为不协调张量,即圣维南张量。

有限应变的协调条件编辑

在有限应变理论中,协调条件为

 

其中 为变形梯度张量。在笛卡尔坐标系中,该条件可表示为

 

该条件是从映射 得到的连续变形的必要条件,同时也是保证单连通物体应变协调的充分条件。

右柯西-格林变形张量的协调条件编辑

右柯西-格林变形张量的协调条件为

 

其中 表示第二类克里斯托费尔符号 则表示黎曼-克里斯托费尔曲率张量

参考文献编辑

  1. ^ C Amrouche, PG Ciarlet, L Gratie, S Kesavan, On Saint Venant's compatibility conditions and Poincaré's lemma, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 342 (2006), 887-891. doi:10.1016/j.crma.2006.03.026
  2. ^ Slaughter, W. S., 2003, The linearized theory of elasticity, Birkhauser