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利威尔-奇維塔符號(Levi-Civita symbol),特別在線性代數張量分析微分幾何等數學範疇中很常見到。對於正整數 n ,它以1, 2, ..., n 所形成排列的奇偶性來定義。它以義大利數學家和物理學家图利奥·列维-齐维塔命名。其他名稱包括排列符號反對稱符號交替符號。這些名稱與它排列和反對稱的性質有關。

列維-奇維塔符號的標準記號是希臘小寫字母 εϵ ,較不常見的也有以拉丁文小寫 e 記號。下標符能與張量分析兼容的方式來顯示排列:

其中每個下標指標 a1, a2, ..., an 取值介乎 1n 。在 εa1a2...an 中,共有 nn 個指標排列,可以排成為一個 n 維陣列。

當任何兩個指標相等,則定義符號值等於 0

當全部指標都不相等時,我們定義:

其中 p 稱為「排列的奇偶性」 (parity of permutation),是要將 a1, a2, ..., an 變換成自然次序 1, 2, ..., n ,所需的對換次數。而因子 (−1)p 被稱為「排列正負號」 (signum of permutation)。這裡, ε12...n 的值必須有定義,否則其他特定排列的符號值將無法確定。大多數作者選擇 +1 作為自然次序的值:

在本文中,也將使用這個定義。

從定義可知,當任何兩個指標互換,則須加上負號:

這稱為「完全反對稱性」。

n 維列維-奇維塔符號”一詞是指符號上的指標數 n ,和所討論的向量空間維度相符,其中可指歐幾里得空間非歐幾里得空間,例如 R3n = 3閔可夫斯基空間n = 4

列維-奇維塔符號的值,與參考座標系無關。此外,這裡使用「符號」一詞。強調了它並不是一個張量;然而,它可以被理解為張量的密度。

列維-奇維塔符號可用來表示正方矩陣行列式,及三維歐幾里德空間中的兩個向量叉積

目录

定義编辑

列維-奇維塔符號最常用於三維和四維,並在一定程度上用於二維,因此在定義一般情況之前,先給出這些符號值。

二維编辑

在二維中,列維-奇維塔符號定義如下:

   
 
 

這些值可以排列成 2×2 反對稱矩陣

 

相對於其他維度,二維的列維-奇維塔符號並不常見,雖然在某些專門的主題,如超對稱扭量理論中,談及2-旋量時會用到。

三維编辑

 
對於 εijk 的指標 (i, j, k) ,數字 1, 2, 3     循環排列的次序,對應 ε = +1。在      反循環排列的次序,則對應 ε = −1。其餘情況下, ε = 0

三維以上的列維-奇維塔符號更常用。在三維中,列維-奇維塔符號定義如下:

     
   
   

也就是說,如果 (i, j, k)(1, 2, 3) 的偶排列,則符號值為 +1 。如果是奇排列,則符號值為 −1 。如果任何兩個索引重複,則符號值為 0

僅在三維中, (1, 2, 3) 的循環排列都是偶排列,反循環排列都是奇排列。這意味著在三維中,僅觀察 (i, j, k)(1, 2, 3) 的循環排列,還是反循環排列,就足以分辨其奇偶性。

類似於二維矩陣,三維列維-奇維塔符號的值可以排成 3×3×3 陣列:

 

其中 i 是深度 (藍色: i = 1; 紅色: i = 2; 綠色: i = 3) , j 是橫行,k 是直列。

以下是一些例子:

 

四維编辑

在四維中,列維-奇維塔符號定義如下:

    的偶排列
  的奇排列
其餘情況,即任意兩個指標相等

這些值可以排成 4×4×4×4 陣列,然而四維以上較難描繪出示意圖。

以下是一些例子:

 

推廣到高維编辑

更一般地推廣到 n 維中,則列維-奇維塔符號的定義為:

     的偶排列
   的奇排列
其餘情況,即任意兩個指標相等

又可使用求積符號 表達為:

 

其中的 sgn(x)符號函數,根據 x 的正負給出 +10−1。該公式對對於任何 n 及任何指標排列都有效(當 n = 01 時,定義為空積 1)。

然而,計算以上公式的時間複雜度O(n2) ,而以不交循環排列的性質計算,則只需 O(n log(n))

兩個列維-奇維塔符號的積,可以用一個以廣義克羅內克函數表示的行列式求得:

 

應用和範例编辑

行列式编辑

线性代数中, 3×3 的方陣 A = (aij)

 

行列式可以寫為:

 

類似地, n×n 矩陣 A = (aij) 的行列式可以寫為:

 

向量的叉積编辑

對於向量 ab ,它們的叉積

 

對於向量 abc ,它們的三重積

 


性質编辑

由列維-奇維塔符號給出(共變等級為n張量正交基礎中的組成部份,有時稱為“置換張量”。

根據普通的張量變換規則,列維-奇維塔符號在純旋轉下不變,與正交變換相關的所有座標系統(在定義上)相同。然而,列維-奇維塔符號是一種贗張量,因為在雅可比行列式−1的正交變換之下,例如,一個奇數維度的鏡射,如果它是一個張量,它“應該”有一個負號。由於它根本沒有改變,所以列維-奇維塔符號根據定義,是一個贗張量。

由於列維-奇維塔符號是贗張量,因此取叉積的結果是贗張量,而不是向量。

在一般座標變換下,置換張量的分量乘以变换矩阵雅可比。這表示在與定義張量的座標系不同的座標系中,其組成部份與列維-奇維塔符號表示的那些,不同之處在於一整體因子。如果座標是正交的,則根據座標的方向是否相同,因子將為±1。

在無指標的張量符號中,列維-奇維塔符號被霍奇对偶的概念所取代。

在使用張量的指標符號來操作分量的上下文中,列維-奇維塔符號可以將其指標寫為下標或上標,而不改變意義,這也許是方便的如下寫成:

 

在這些例子中,上標應該被視為與下標相同。

使用愛因斯坦標記法可消除求和符號,其中兩個或多個項之間重複的指標表示該指標的求和。例如,

 .

以下的例子使用愛因斯坦標記法。

二維编辑

在二維上,當所有    各取值1和2時,

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

(3)

三維编辑

指標和符號值编辑

在三維中,當所有     各取值1,2和3時:

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

(5)

 

 

 

 

 

(6)

乘積编辑

列維-奇維塔符號與克罗内克函数有關。 在三維中,關係由以下等式給出(垂直線表示行列式):

 

這個結果的一個特例是(4):

 

有時候稱為“contracted epsilon identity”。

在愛因斯坦標記法中, 指標的重複表示 的總和。然後前一個被表示為 

 

n编辑

指標和符號值编辑

n維中,當所有 take values 

 

 

 

 

 

(7)

 

 

 

 

 

(8)

 

 

 

 

 

(9)

驚嘆號( )代表階乘,而 是廣義克罗内克函数,對於任意n有屬性:

 

從以下事實可得出:

  • 每個排列是偶排列或奇排列,
  •  ,與
  • 任何n-元素集合的排列數正好是 

乘積编辑

一般來說,對於n維,兩個列維-奇維塔符號的乘積可以寫成:

 

證明编辑