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數學裏,反變(contravariant,也稱逆變)和共變(covariant,也稱協變)描述一個向量(或更廣義來說,張量)的坐標,在向量空間基底/坐標系轉換之下,會如何改變。

反變和共變在張量場的演算中不可或缺,是了解狹義相對論廣義相對論必須的數學基礎。

轉換方式编辑

向量:反變轉換编辑

  • 標記法說明:向量  向量空間   的元素。向量基底   構成了向量空間的一個基底,其座標系統為 。對應這個基底,向量 的分量為 ,即 

(註:  這符號中的上標 不代表平方,而是代表第二個坐標,在較基礎的數學上,常寫作   ,但是,在张量分析领域,指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示,以及愛因斯坦求和約定。)

向量空間 有另一個基底 ,其座標系統為 。對應這個基底,  有分量  ,即 

對於1...n之間任意整數   ,我們知道    的關係:

 

使用愛因斯坦求和約定可寫成:

 

餘向量:共變轉換编辑

假設對偶空間 有兩個基底   [1]:289-297

假設 。 則對於 ... 之間其中一個特定的整數   ,我們知道    的關係:

 

或使用愛因斯坦求和約定寫成:

 

向量的共變分量和反變分量编辑

歐幾里得空間   裏,共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量;對於所有餘向量   ,通過下述方程式,向量  線性泛函   ,唯一地確定了餘向量  

 

逆過來,通過上述方程式,線性泛函   和每一個餘向量,唯一地確定了向量   。由於這向量與餘向量的相互辨認,我們可以提到向量的共變分量和反變分量;也就是說,它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予   的一個基底   ,則必存在一個唯一的對偶基底   ,滿足

 

其中, 克羅內克函數

以這兩種基底,任意向量   可以寫為兩種形式

 

其中,  是向量   對於基底   的反變分量,  是向量   對於基底   的共變分量,

歐幾里得空間编辑

 
將向量   投影於坐標軸   ,可以求得其反變分量   ;將向量   投影於坐標曲面法線   ,可以求得其共變分量  

歐幾里得空間3裏,使用內積運算,能夠從向量求得餘向量。給予一組可能不是標準正交基的基底,其基底向量為     ,就可以計算其對偶基底的基底向量:

 

其中,  是三個基底向量     所形成的平行六面體的體積。

反過來計算,

 

其中,  是三個基底向量     所形成的平行六面體的體積 。

雖然    並不相互標準正交,它們相互對偶:

 

這樣,任意向量   的反變坐標為

 

類似地,共變坐標為

 

這樣,   可以表達為

 

或者,

 

綜合上述關係式,

 

向量   的共變坐標為

 

其中, 度規張量

向量   的反變坐標為

  ;

其中, 共軛度規張量

共變坐標的標號是下標,反變坐標的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基,或反變基底向量組成的基底是標準正交基,則共變基底與反變基底相互等價。那麼,就沒有必要分辨共變坐標和反變坐標,所有的標號都可以用下標來標記。

在相對論上的應用编辑

根據相對性原理,一條物理定律在不同的系統,都應該有相同的「形式」。

狹義相對論討論的是閔可夫斯基空間,它是一種平直空間。

参考来源编辑

  1. ^ Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 (英语)