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形式幂级数是一个数学中的抽象概念,是从幂级数中抽离出来的代数对象。形式幂级数和从多项式中剥离出来的多项式环类似,不过允许(可数)无穷多项因子相加,但不像幂级数一般要求研究是否收敛和是否有确定的取值。形式幂级数在代数和组合理论中有广泛应用。

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简介编辑

形式幂级数和多项式的形式定义有类似之处。对于熟悉幂级数的读者,也可以将其看作是不讨论幂级数敛散性,也就是将其中的不定元仅仅看作是一个代数对象,而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。举例来说,以下的级数式子:

 

如果我们把它当成幂级数来研究的话,重点会放在它的收敛半径等于1、其对应的幂级数函数是否满足某些性质等等。但作为形式幂级数来研究时,我们关注的是它本身的结构。我们甚至可以把它简写为: 这样,只关注它的系数。我们完全可以考虑各种系数的形式幂级数。比如说系数为阶乘的形式幂级数: ,即使说它对应的幂级数:

 

 取任何的非零实数值时都不收敛,我们仍然可以将其作为形式幂级数进行运算。

和多项式环中的元素一样,形式幂级数之间也可以做加减和乘法的运算,具体的计算方式和多项式环一样。比如说设:

 

那么  的和就是:

 
 

其中 里面 的系数就是   的系数的和; 里面 的系数就是   的阶数相加等于5的项的系数乘积的和:

 

对每个确定的阶数 ,这个计算是有限项(至多 项)的相加,所以在计算形式幂级数的加减法和乘法的时候,不需要像在对幂级数进行计算时一样,考虑诸如是否绝对收敛、条件收敛或是一致收敛的问题。另外,如多项式的形式运算一样,形式幂级数也满足加法的交换律、加法的结合律、乘法的交换律、乘法的结合律以及乘法对加法的分配律。

形式幂级数不仅能够定义乘法,也能定义乘法逆的运算。一个形式幂级数 的逆是指另一个形式幂级数 ,使得 . 如果这样的形式幂级数 存在,就是唯一的,将其记为 。同时我们也可以定义形式幂级数的除法:当 的逆存在时,  比如说,可以很容易验证:

 

形式幂级数上的一个重要映射是系数的提取操作:将一个形式幂级数映射到它的 的系数。这个操作常常记作 ,比如说对形式幂级数 ,就有:

 

对以上定义的形式幂级数 ,也有: 。又比如:  。提取映射和多项式环中的对应映射一样,都可以看做是到一个子空间的投影映射。

形式幂级数的环结构编辑

所有的不定元为 ,系数为某一个交换 上元素的形式幂级数构成一个环,称为 上变量为 的形式幂级数环,记作 

定义编辑

 可以定义为 上变量为 的多项式环完备化(对于特定的度量)后得到的。这个定义自然就赋予了 以拓扑环的结构(同时也赋予了完备度量空间的结构)。不过空间完备化所需要的步骤过于繁琐,而建构 所需要的并没有那么多。以下将对 的环结构和拓扑结构分别定义,更为明晰,容易理解。

环结构编辑

首先可以定义集合 的范围。作为一个集合, 可以用和 一样的方法构造。 是所有 上元素构成的数列 的集合:

 

 中的元素可以定义加法和乘法:

 
 

其中乘法的定义方法也叫做求两个数列的系数的柯西乘积,也是一种卷积。可以证明,在以上的定义下, 是一个交换环。环的加法零元是 ,乘法幺元是 。于是我们可以将 中的元素嵌入到 之中,

 

并将 映射到不定元 ,这样通过以上定义的加法和乘法就可以将 中的有限非零元元素同构为:

 

这样的结构和多项式环是一样的。所以对于更一般的 中元素 ,就可以自然地希望将其对应到 

但这个对应方式并不能通过有限项的加法和乘法得到,所以需要用一个约定上的映射 来做到:

 

这个映射涵盖了之前的多项式的定义,并且可以定义

 

以及

 

这个定义使得 是一个同态,所以 也是一个交换环。

拓扑结构编辑

以上的定义中建立了映射

 

但需要注意的是这里的定义中 还是一个符号性的对象,因为我们并没有定义其中无限求和号的意义。为了更好地定义 本身,我们需要引入拓扑的结构,将其作为极限来严格地说明。需要注意的是,适合的拓扑结构不止一个。

  • 我们可以在 上定义离散拓扑的结构,然后将 作为可数个 积空间,将其上的拓扑定义为积拓扑
  • 我们也可以直接在 上定义类似于p进数拓扑的 进拓扑,其中的 是环结构中由 生成的理想,也就是由所有 形式的形式幂级数构成的集合。
  • 对不熟悉一般的点集拓扑学的读者,也可以建立一个具体的度量(也就是定义“距离”)来定义拓扑。比如定义两个数列  的距离:
     

其中 表示数列 中第一个不等于0的系数的下标。这样的定义之下,我们说两个数列如果越来越“接近”,那么第一个系数不同的地方会出现的越晚,也就是说它们的距离也越小。对一个数列 ,定义部分和数列为:

 

那么部分和  的距离就会是 ,所以 趋于无穷大的时候,部分和数列和 的距离趋于0. 这样,在定义了有限项非零元的数列和多项式的关系以后,就可以将任意的数列定义为部分和数列的极限。

 

然后对形式幂级数也定义类似的距离:

 

然后形式幂级数也就满足:

 

并且可以验证加法、乘法的交换律和结合律,以及乘法对加法的结合律。于是我们定义出了一个同构于 拓扑环,将其称为 上的形式幂级数环 

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