從零開始的編號

從0開始編號索引開頭為0是一種編號方式,在序列其中初始元素的索引被分配到的數字是零,而非一般日常環境中典型的索引開頭為一。從零開始的編號方式,序列中初始的元素有時被稱為第零元素(一般稱為第一元素);「第零」索引是對應於數字零的序數

某些情況下,原來並不屬於該序列的物件或值,但可以自然地放置在其初始元素之前的,或稱其為第零元素。使用零作為序數並未被廣泛接受,因為在缺乏上下文時,對序列的所有後續元素會造成混淆。

從0開始編號的序列在數學符號中是相當常見的,特別是在組合數學中,儘管數學領域的編程語言通常從一開始編號。計算機科學中,現代編程語言中(例如C語言)陣列的索引通常從0開始,因此編程人員會用「第零」開始索引,而其他人是使用「第一」開始索引的情況。在數學中對於出現在「第一個」之前的元素,其序數形式有明確的定義時,則使用從零開始的編號不會造成混淆;例如函數的第零階導數是進行零次微分獲得的,亦即函數本身。對應於不屬於該序列,但以這樣子命名法在其之前面的元素,或不妥當:所謂「第零階」的導數實際並非導數。然而,正如一階導數在二階導數之前,因此第零階導數(或原始函數本身)也在一階導數之前。

計算機編程编辑

起源编辑

計算機編程中列舉數據從零開始編號,主要起因於提供的機器指令,根據條件判斷,程式要能在指令序列之間“跳轉”,這是實作分支結構的關鍵。可用條件以判斷暫存器內容的“零”和“負”為主。最常用於實作迭代的指令譬如“遞減,如果到零就跳轉”。也就是說,任何可列舉的數據結構都在迭代中循環處理,而是否為零的條件判斷,用於控制這些循環的執行(不為零就一直在循環中)。高階編程語言的循環結構(如do-while,repeat-until,for-step-to...)是奠基於這些根本的機器指令。

BCPL編程語言(C編程語言的前身)的創建者,马丁·理察德設計了陣列從0開始的索引方式,作為存取陣列開頭內容的自然位置,因為表示位址的指針p值,用於存取記憶體中的p+0位址;系統分析師Mike Hoye詢問Richards選用該慣例的原因。BCPL最初是用IBM 7094機器編譯的;它在編譯時會優化這些陣列索引提供的指針反參考運算(indirection)。

在1982年艾兹赫尔·戴克斯特拉寫了個相關的說明《為什麼編號應該從零開始》,將陣列索引的上下界以不等式連接,來分析各種設計方案,列舉出嚴格和標準不等式的四種可能組合,展示了他的確信,從零開始編號的陣列不會造成索引範圍重疊,是最好的表示方法,從零開始暗示與實數同樣的開,半開和閉區間。Dijkstra偏好這慣例的細節以空序列說明,它可以用更自然的(a≤i<a?)不等式來表示,相較於用閉合“區間”的(a≤i≤(a-1)?)不等式。而且以自然的半開“區間”不等式來看,子序列的長度等於上界減去下界(a≤i<b給出(b-a)的i可能值,其中的a,b,i都是自然數)。

編程語言用法编辑

這種設計方案嵌入在許多具影響力的編程語言中,包括C,Java和Lisp。在這三種語言中,序列類型(C陣列,Java陣列和串列,Lisp串列和向量)以數字零為下標開始索引。特別是在C語言中,陣列與指針運算緊密相關,這使得一個更簡單的實現:下標的參考是從陣列起始位置的偏移,因此第一個元素的偏移量就是零。

幾乎所有計算機結構,都藉由位址和偏移量來表示直接引用內存,因此C語法的設計細節使編譯更容易,但代價是一些人工成本。這樣的情況下,使用“第零”作為序數並不是嚴明正確的,而是計算機業界的普遍慣例。其他編程語言如Fortran或COBOL,則有從一開始的陣列索引下標,因為它們意味著高階編程語言,因此它們必須與通常的序數相對應。一些最近的編程語言如Lua,由於同樣原因採用了相同的約定。

零是最低位的無符號整數值,是編程和硬件設計中最基本的類型之一。因此在計算機科學,零經常被當作許多種類的數值遞歸的基本情況。計算機科學中的證明和其他類型的數學推理通常從零開始。由於這些原因,在計算機科學中,從零而非從一開始計數的方式並不少見,時有用例。

黑客和計算機科學家經常喜歡將出版品的第一章,如果其內容特重於介紹的概念,則稱為“第0章”。其中一個經典的例子是在K&R的第一版。近年來在許多純數學家中也出現這種特徵,許多構造被定義為從0開始編號。

如果用陣列表示循環,則模除(modulo)函式即可便利地獲得索引,而這會導致零。

數值屬性编辑

使用從零開始的編號範圍表示為半開區間[0,n),不同於閉合區間[1,n]。在演算法中經常發生的「空」範圍,很難以閉合區間[1,0]來表達。由於這個屬性,從零開始的索引潛在地減少了差一和柵欄錯誤。但另一方面,預先扣除掉重複的計數n,使得從0到n−1(包含)的表達較不直覺。有些作者更偏好從1開始的索引,因為它直接對應了該項目在其它段落中的索引。

零索引慣例的另一個特性是在現代計算機中實作的模運算。通常,模函數將任何模N映射到0, 1, 2, ...,N−1中的一個數字,其中N≥1。因此在算法(例如計算雜湊表索引)中的許多公式,當序列從零開始索引時,使用模運算可優雅地以代碼表示。如上文所提及位址/偏移量的底層邏輯,指針操作也能以零索引更優雅地表示。

為了說明,假設a是陣列中第一個元素的內存地址,i是需求元素的索引。要求所需元素的位址,如果從1開始計算索引號,則通過以下表式計算:

a+s×(i−1),其中s是每個元素的大小。若從0開始計數,則表達式變為:

a+s×i,這個簡單的算式可在執行時期更有效率地計算。

然而注意,從1開始索引陣列的語法也能從簡採用約定:每個“陣列位址”以

a'=a−s來表示;

也就是說,不採用陣列中第一個元素的位址,這種語法使用某個“虛擬”元素的位址,緊接在實際的第一個元素之前。從1開始索引的表式如下:

a'+s×i

因此零索引的執行期效率來自以0暫代第一元素的實際位址,不使用陣列之前的“虛擬”元素位址,此設計策略的優勢。可是,直接位於陣列之前的“虛擬”元素位址,或許是與陣列無關的其他項目,能有作用的位址。這種情況可能導致術語上的混亂。

在零索引方案中第1個元素是“下標零”;同理第12個元素是“下標11”。所以從序數到物件數量的轉換浮現;n個元素的最高索引會是n−1並且被稱為第n元素(表示數量為n,上界索引與計數差一)。反之第一個元素就被稱為第零物件(直接以序號指稱),以避免混淆。

科學编辑

在數學中,許多數字序列或多項式是以非負整數來索引,例如白努利數貝爾數

熱力學第零定律是在第一和第二定律之後才提出的,但因為比其它定律更為基本, 所以稱為熱力學第零定律。

在生物或醫學實驗開始前的初始測量,被稱為此實驗的第0天。

第零個病患(或指標病例)是流行病學調查群體樣本中的初始病患。

其它编辑

參見编辑

參考資料编辑

外部連結编辑

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