不同的悬链线
鐵鏈形式的悬链线。
蜘蛛絲形成多個(近似的)悬链线。

悬链线是一种常用曲线,物理上用于描绘悬在水平两点间的因均匀引力作用下的软绳的形状,因此而得名。它的公式为:

或者简单地表示为

其中cosh是雙曲余弦函数, 是一个由绳子本身性质和悬挂方式决定的常数軸為其準線。具体来说,,其中是重力加速度,是线密度(假设绳子密度均匀),而是绳子上每一点处张力的水平分量,它取决于绳子的悬挂方式;若绳子两端在同一水平面上,则下面的方程决定了

其中L是绳子总长的一半,d是端点距离的一半。

方程的推导编辑

表达式的证明

如右图,设最低点 处受水平向左的拉力 ,右悬挂点处表示为 点,在 弧线区段任意取一段设为 点,则 受一个斜向上的拉力 ,设 和水平方向夹角为 ,绳子的质量为 ,受力分析有:

 

 

 

 , 其中 是右段 绳子的长度, 是绳子线重量密度, 为切线方向,记 , 代入得微分方程 ;

利用弧长公式 ;

所以 ;

再把 代入微分方程得 

对于  微分处理

 

其中 ;

对(2)分离常量求积分

 

 ,即 

其中 反双曲函数;

 时, 

带入得 

整理得 .

工程中的应用编辑

悬索桥双曲拱桥架空电缆都用到悬链线的原理。 在工程中有一种应用, 称作悬链系数。如果我们改变公式的写法,会给工程应用带来很大帮助,公式及图像如下:

 

还有以下几个公式,可能也有用:

 
 
 

其中 是曲线中某点到0点的链索长度, 是该点的正切角, 是0点处的水平张力, 是链索的单位重量。利用上述公式即能计算出任意点的张力。

參見编辑