截線定理(英語:Intercept theorem),是平面幾何中的基本定理之一。截線定理說明,平面上的一個三角形中,若在其中一條腰的中點作一條直線,與其底邊平行,則該線穿過另一條腰的中點。這定理可推廣到梯形上,以及一般化至任意分割比例的情況。截線定理與另外兩條幾何定理中點定理等比定理有密切關係。

定理

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截線定理的最基本形式是在三角形上的應用。

圖中有三角形  ,作一條直線   與底邊   平行。

截線定理說明,若  ,則  

換句話說,  是三角形  中位線

 

這定理能簡單推廣到梯形上應用。

圖中有梯形  ,其中  。作一條直線   與上底   和下底   平行。

截線定理說明,若  ,則  

同樣地,  是梯形   的中位線。

一般化定理

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對於平行線將腰分割成任意比例的情形,一般化截線定理則給出,左右兩條腰的分割比例相等。

在上圖的三角形   中,若  ,則有  

同樣地,在梯形  ,若  ,則有  

證明

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這定理能以相似三角形簡單證明。


考慮上圖的   。由於

  •   (公共角)
  •   (平行線的同位角)
  •   (平行線的同位角)

所以 。(等角)

由此可得   。(相似三角形的對應邊)

因此  

證畢。


對於梯形的情況,考慮梯形   ,在   上作一直線,與   平行,並與    分別相交於   

由定義可知,  平行四邊形

因此   。(平行四邊形的對邊)

上面已證明,由  ,可知  

代入可得  

證畢。

參見

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参考来源

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外部链接

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