拉回 (范畴论)

范畴论

范畴论中,一个数学分支,拉回(也称为纤维积笛卡尔方块)是由具有公共上域的两个态射f : XZg : YZ组成的图表极限。拉回经常写作

泛性质编辑

明确地说,态射fg的拉回由一个对象P和两个态射 p1 : PXp2 : PY组成,使得图表

交换。并且拉回(P, p1, p2)对这个图表必须是通用的。这便是说,任何其它这样的三元组(Q, q1, q2)一定存在惟一的u : QP使得图表

交换。和所有泛构造一样,拉回如果存在必然在同构的意义下是惟一的。

弱拉回编辑

一个cospan XZY弱拉回是在cospan上面的只须满足弱泛性质,这就是说中间映射u : QP不必是惟一的。

例子编辑

集合范畴中,fg的拉回是集合

 

以及投影映射的限制  映到X×Z Y

  • 这个例子启发另一种方式考虑拉回:作为态射f o p1, g o p2 : X×YZ等化子,这里X×YXY二元积

p1p2是自然投影。这说明拉回在任何具有二元积和等化子的范畴中存在。事实上,由极限存在定理,在具有有终对象、二元积和等化子的范畴中所有有限极限存在。

拉回的另一个例子来自纤维丛理论:给定一个纤维映射π : EB以及一个连续映射f : XB,拉回 X ×B EX上的纤维丛,称为拉回丛。伴随的交换图表是纤维丛映射。

在任何具有终对象Z的范畴中,拉回X ×Z Y恰好是普通积X×Y

性质编辑

  • 如果X ×ZY存在,那么Y ×Z X也存在,且存在态射X ×Z Y   Y ×ZX
  • 单态射在拉回下不变:如果箭头f单,那么它就是箭头p2。例如,在集合范畴中,如果XZ的子集,那么对任何g : YZ,拉回X ×Z YXg下的逆像
  • 同构态射也不变,因此X ×X Y   Y对任何映射YX成立。

又见编辑

参考文献编辑

外部链接编辑