拓扑学家正弦曲线

具有特別性質的拓樸空間

拓扑学中,拓扑学家正弦曲线华沙正弦曲线是一个拓扑空间,具有一些有趣的特性,使其成为教科书中的一个重要例子。

随着x从右边接近0,1/x的变化率就增大。这就是正弦波的频率随着图形向左移动而增加的原因。

它可以定义为函数sin(1/x)在半开区间(0, 1]上连通原点在欧氏平面拓扑下的函数图形

性质

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拓扑学家正弦曲线T连通的,但不是局部连通也不是路径连通。这是因为它包含原点,但却无法将函数与原点连接为路径

空间T局部紧空间的连续像(即设V为空间{−1} ∪ (0, 1],并使用由f(−1) = (0,0)、f(x) = (x, sin(1/x))x > 0)定义的映射 ),而T本身不是局部紧的。

T拓扑维数为1。

变体

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拓扑学家正弦曲线有2种有趣的变体,具有其它有趣的性质。

闭拓扑学家正弦曲线可通过拓扑学家正弦曲线添加极限点 得到。有文献将拓扑学家正弦曲线本身定义为这个版本,因为他们更喜欢用“闭拓扑学家正弦曲线”指另一条曲线。[1]海涅-博雷尔定理,这是闭有界紧空间,但与拓扑学家正弦曲线有相似的性质:它也是连通的,但既不是局部连通,也不是路径连通。

推广拓扑学家正弦曲线的定义是:将闭拓扑学家正弦曲线加入集合 。它是弧连通的,但不是局部连通的

另见

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参考文献

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  1. ^ Munkres, James R. Topology; a First Course. Englewood Cliffs. 1979: 158. ISBN 9780139254956.