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指數映射 (李群)

從李代數到李群的映射

微分幾何中,指數映射微積分中定義的指數函數在任意黎曼流形上的推廣。李群上的指數映射是一類重要的情形。

定義编辑

 微分流形  為其上的仿射聯絡。給定任一點  。根據常微分方程的基本理論,存在切空間   中的開子集   及光滑映射  ,使得:

  •  
  • 對每個  ,映射  測地線
  • 承上, 

對夠小的  ,映射   是唯一的。定義點   的指數映射為

 

由於常微分方程解的存在性只是局部性的,指數映射一般不能定義在整個   上,在黎曼流形的情形,霍普夫-里諾定理給出了充要條件。此外,指數映射通常也不是滿映射,而是   的一個鄰域。黎曼流形上由指數映射給出的坐標系稱作測地法坐標

从几何上看,指数映射exp(p,v)是把切丛中的一个切向量v,映射到以(p,v)为初始条件的测地线从点p量起弧长等于|v|的点。

李群的情形编辑

 李群,取定左、右不變之仿射聯絡,可得在整個李代數上定義的指數映射  。這是聯繫李代數與李群的主要工具。李群的指數映射滿足下述性質:

  •  ,則  ;對一般情形,左式可由 Campbell-Baker-Hausdorff 公式給出。
  •   在群論的意義下生成  
  •   為李群同態  為它在單位元處的拉回作用,則我们有一交換圖
  • 重要的特例是   (伴隨作用),此時有
    •  
    •  

 ,相應者便是尋常的指數函數  。取  ,相應者是恆等映射  

事實上,對複李群及任何完備上的解析李群都能定義指數映射。

文獻编辑

  • Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser (1992). ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
  • Jeff Cheeger and David G. Ebin, Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier (1975).