收敛矩阵

线性代数中，收敛矩阵是在求幂过程中收敛到零矩阵的矩阵。

背景

矩阵T的幂随次数增加而变小时（即T的所有项都趋近于0），T收敛到零矩阵。可逆矩阵A的正则分裂会产生收敛矩阵T。A的半收敛分裂会产生半收敛矩阵T。将T用于一般的迭代法，则对任意初向量都是收敛的；半收敛的T则要初向量满足特定条件才收敛。

定义

n阶方阵T若满足

$\forall i=1,\ 2,\ \dots ,\ n,\ j=1,\ 2,\ \dots ,\ n,\ \lim _{k\to \infty }(\mathbf {T} ^{k})_{ij}=0,$

(1)

则称T是是收敛矩阵。

例子

令

${\begin{aligned}&\mathbf {T} ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

T的幂是

${\begin{aligned}&\mathbf {T} ^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{16}}&{\frac {1}{4}}\\[4pt]0&{\frac {1}{16}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{3}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{64}}&{\frac {3}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{64}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{4}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{256}}&{\frac {1}{32}}\\[4pt]0&{\frac {1}{256}}\end{pmatrix}},\quad \mathbf {T} ^{5}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{1024}}&{\frac {5}{512}}\\[4pt]0&{\frac {1}{1024}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathbf {T} ^{6}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4096}}&{\frac {3}{1024}}\\[4pt]0&{\frac {1}{4096}}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

综之，

${\begin{aligned}\mathbf {T} ^{k}={\begin{pmatrix}({\frac {1}{4}})^{k}&{\frac {k}{2^{2k-1}}}\\[4pt]0&({\frac {1}{4}})^{k}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

由于

$\lim _{k\to \infty }\left({\frac {1}{4}}\right)^{k}=0$

$\lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{2k-1}}}=0,$

T是收敛矩阵。注意其谱半径$\rho (\mathbf {T} )={\frac {1}{4}}$，因为${\frac {1}{4}}$是T唯一的特征值。

特征

设T是n阶方阵，则下列表述等价于T的收敛矩阵：

1. 对某自然范数，$\lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0$
2. 对所有自然范数，$\lim _{k\to \infty }\|\mathbf {T} ^{k}\|=0$
3. $\rho (\mathbf {T} )<1$
4. $\forall \mathbb {x} ,\ \lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}\mathbf {x} =\mathbf {0}$

迭代法

主条目：迭代法

一般的迭代法包含将线性方程组

$\mathbf {Ax} =\mathbf {b}$

(2)

转为等价方程组

$\mathbf {x} =\mathbf {Tx} +\mathbf {c}$

(3)

的过程。选定初向量$\mathbf {x} ^{(0)}$，近似解向量序列的生成由

$\forall k\geq 0,\ \mathbf {x} ^{(k+1)}=\mathbf {Tx} ^{(k)}+\mathbf {c}$

(4)

对任意初向量$\mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}$，序列$\lbrace \mathbf {x} ^{\left(k\right)}\rbrace _{k=0}^{\infty }$由(4)定义，$\forall k\geq 0,\ \mathbf {c} \neq 0$，当且仅当$\rho (\mathbf {T} )<1$收敛于(3)的唯一解，即T是收敛矩阵。

正则分裂

主条目：矩阵分裂

矩阵分裂是用多个矩阵的和或差表示矩阵。对(2)所示的线性方程组，若A可逆，则A就可分裂为

$\mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C}$

(5)

于是(2)可重写为(4)。当且仅当$\mathbf {B} ^{-1}\geq \mathbf {0} ,\ \mathbf {C} \geq \mathbf {0}$时，(5)式是A的正则分裂；即$\mathbf {B} ^{-1},\ \mathbf {C}$只有非负元素。若分裂(5)是A的正则分裂、且$\mathbf {A} ^{-1}\geq \mathbf {0}$，则$\rho (\mathbf {T} )<1$，T是收敛矩阵，迭代法(4)收敛。

半收敛矩阵

n阶方阵T，若极限

$\lim _{k\to \infty }\mathbf {T} ^{k}$

(6)

存在，则称之为半收敛矩阵。若A可能奇异，而(2)齐次，即b在A的范围内，则当且仅当T是半收敛矩阵时，对任何初向量$\mathbf {x} ^{(0)}\in \mathbb {R} ^{n}$，(4)定义的序列收敛到(2)的解。这时，分裂(5)称作A的半收敛分裂。

另见

• 高斯-赛德尔迭代
• 雅可比法
• 矩阵列表
• 幂零矩阵
• 逐次超松弛迭代法

参考文献

• Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas, Numerical Analysis 5th, Boston: Prindle, Weber and Schmidt, 1993, ISBN 0-534-93219-3  含有內容需登入查看的頁面 (link).
• Isaacson, Eugene; Keller, Herbert Bishop, Analysis of Numerical Methods, New York: Dover, 1994, ISBN 0-486-68029-0 .
• Carl D. Meyer, Jr.; R. J. Plemmons. Convergent Powers of a Matrix with Applications to Iterative Methods for Singular Linear Systems. SIAM Journal on Numerical Analysis. Sep 1977, 14 (4): 699–705. doi:10.1137/0714047. 
• Varga, Richard S. Factorization and Normalized Iterative Methods. Langer, Rudolph E. (编). Boundary Problems in Differential Equations. Madison: University of Wisconsin Press. 1960: 121–142. LCCN 60-60003. 
• Varga, Richard S., Matrix Iterative Analysis, New Jersey: Prentice–Hall, 1962, LCCN 62-21277 .