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数域近世代数学中常见的概念,指对四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称,但两者的定义有细微的差别。

定义编辑

 是复数域 的子集。若 中包含0与1,并且 中任两个数的和、差、乘积以及商(约定除数不为0)都仍在 中,就称 为一个数域[1]:101。用域论的话语来说,复数域的子域是为数域[2]:5

任何数域都包括有理数域 [1]:103[2]:5,但并不一定是 有限扩张,因此数域不一定是代数数域。例如实数域 和复数域 都不是代数数域。反之,每个代数数域都同构于某个数域。

例子编辑

除了常见的实数域 和复数域 以外[2]:5,通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同:

 

的数的集合,就是一个数域。可以验证,任何两个这样的数,它们的和、差、乘积以及商(约定除数不为0)都能写成 的形式,故仍然在集合之中[1]:102。这个集合记作 ,是有理数域 二次扩域

可构造数编辑

可构造数也叫规矩数,指的是从给定的单位长度开始,能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为 ,是一个数域[3]:160-161。因为给定了两个已经做出的线段后,可以通过符合尺规作图规定的手段,在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。  的扩域,次数为无限大,是实数域 的子域[3]:161

代数数编辑

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作 ,是一个数域。 也常被称为代数数域,但与定义为“ 的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过,每个 的有限扩张生成的域都可看作是[N 1] 中加入某个代数数扩成的,所以都是 的子域。可构造数构成的数域 也是 的子域。由于虚数单位i也是代数数,所以 不是 的子域。另一方面,自然对数的底e以及圆周率π都不是代数数,所以 也不是 的子域[N 2]

注释编辑

  1. ^ 同构意义上。
  2. ^ 事实上 的元素个数是可数的,所以元素个数不可数的 不可能是 的子域。

参考来源编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 王萼芳. 高等代数教程. 清华大学出版社. 1997. ISBN 9787302024521. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 张贤科, 许甫华. 高等代数学. 清华大学出版社. 2004. ISBN 9787302082279. 
  3. ^ 3.0 3.1 胡冠章, 王殿军. 应用近世代数. 清华大学出版社. 2006. ISBN 9787302125662.