斯托克斯流函数

斯托克斯流函数（英語：Stokes stream function）在流体力学中用于描述轴对称的三维不可压缩流体的流线与流速。斯托克斯流函数的等值面形成流管，其上的每一点都与速度矢量相切。此外，流管内的体积流量为定值，所有流线也皆位于流管表面上。斯托克斯流函数对应的速度场为螺线矢量场（散度为零）。该流函数因纪念著名流体力学家乔治·斯托克斯得名。

绕球体的轴对称斯托克斯流动的流线

圆柱坐标

圆柱坐标系示意图

在圆柱坐标系 ( ρ , φ , z ) 中，假设不可压缩流关于 z 轴呈轴对称。则流体的径向速度 u_ρ 与轴向速度 u_z 与可以通过斯托克斯流函数$\Psi$得到：

${\begin{aligned}u_{\rho }&=-{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial z}},\\u_{z}&=+{\frac {1}{\rho }}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \rho }}.\end{aligned}}$

周向速度u_φ 则与流函数无关。通过斯托克斯流函数等值面（ψ为定值）的体积流量为 2π ψ。

球坐标

球坐标系示意图

在球坐标系 ( r , θ , φ )中，以 θ = 0 为不可压缩流的对称轴。于是速度在 θ 与 r方向上的分量为：

${\begin{aligned}u_{r}&=+{\frac {1}{r^{2}\,\sin(\theta )}}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial \theta }},\\u_{\theta }&=-{\frac {1}{r\,\sin(\theta )}}\,{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}.\end{aligned}}$

与圆柱坐标系下的情形相同，u_φ 并非流函数的函数。通过流函数等值面的体积流量也与之前相同，为 2π ψ。

参考文献

• Batchelor, G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0-521-66396-2. 
• Lamb, H. Hydrodynamics 6th. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-45868-9.  Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
• Stokes, G.G. On the steady motion of incompressible fluids. Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 1842, 7: 439–453. Bibcode:1848TCaPS...7..439S. 
  Reprinted in: Stokes, G.G. Mathematical and Physical Papers, Volume I. Cambridge University Press. 1880: 1–16.