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用圓柱坐標 來表示一個點的位置

圓柱坐標系英语:cylindrical coordinate system)是一種三維坐標系統。它是二維極坐標系往 z-軸的延伸。添加的第三個坐標 專門用來表示 P 點離 xy-平面的高低。按照國際標準化組織建立的約定 (ISO 31-11) ,徑向距離、方位角、高度,分別標記為

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定義编辑

 
圓柱坐標  坐標曲面。紅色圓柱面的   。藍色平面的   。黃色半平面的   。 z-軸是垂直的,以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P (以黑球表示)。點 P 的直角坐標大約為  

如圖右,P 點的圓柱坐標是  

  •   是 P 點與 z-軸的垂直距離。
  •   是線 OP 在 xy-面的投影線與正 x-軸之間的夾角。
  •  直角坐標  等值。

符號約定编辑

圓柱坐標系的記號並不統一。ISO標準31-11推薦(ρ, φ, z),這裡的ρ是徑向距離,φ方位角,而z是高度。但是,徑向距離也常表示為rs,方位角也常表示為θt,高度坐標也常表示為hx(如果圓柱軸被認為是水平的)或任何特定於上下文的字母。

坐標系變換编辑

三維空間裏,有許多各種各樣的坐標系。圓柱坐標系只是其中一種。圓柱坐標系與其他坐標系的變換需要用到特別的方程式。

直角坐標系编辑

使用以下方程式,可以從直角坐標變換為圓柱坐標:

 
 
 

特別注意,當求取方位角時,必須依照   所處的象限來計算正確的反正切值。

相反地, 可以從圓柱坐標變換為直角坐標:

 
 
 

球坐標系编辑

 
用球坐標   來表示一個點的位置

使用以下方程式,可以從球坐標變換為圓柱坐標:

 
 
 

相反地, 可以從圓柱坐標變換為球坐標:

 
 
 

圆柱坐标系下的微积分公式编辑

圓柱坐標系的坐標因子分別為

 
 
 

在許多關於圓柱坐標系的問題中,我們時常需要知道線元素與體積元素的方程式;用這些方程式來求解關於徑長或體積的積分問題。線元素是

 

面積元素是

 

體積元素是

 

劈形算符表示為

 

拉普拉斯算子

 

其它微分算子,像    ,都可以用   坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

應用编辑

圓柱坐標常被用來分析,選用 z-軸為對稱軸,有軸對稱特性的物體。例如,一個無限長的圓柱,具有直角坐標方程式  ;用圓柱坐標來表示,有一個非常簡易的方程式  。這也是圓柱坐標系名稱的由來。

参见编辑

參閱编辑