斯蒂尔吉斯常数

斯蒂尔吉斯常数，记为 $\gamma _{k}$ ，是出现在黎曼ζ函数的罗朗级数展开式中的数：

\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}\;(s-1)^{n}

斯蒂尔吉斯常数由以下的极限给出：

\gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}

还有一种积分表示法，可由柯西积分公式推出：

\gamma _{n}={\frac {(-1)^{n}n!}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-nix}\zeta \left(e^{ix}+1\right)dx.

第零个常数 $\gamma _{0}=\gamma =0.577...$ 称为欧拉-马歇罗尼常数。

最初的几个值为：

更一般地，我们可以定义出现在赫尔维茨ζ函数的罗朗级数展开式中的斯蒂尔吉斯常数 $\gamma _{k}(q)$ ：

\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\gamma _{n}(q)\;(s-1)^{n}

在这里，q是一个复数，Re(q)>0。由于赫尔维茨ζ函数是黎曼ζ函数的一个推广，我们有

\gamma _{n}(1)=\gamma _{n}\;

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