曲线的挠率

在初等三维曲线的微分几何中,一条曲线挠率(torsion,或译扭率)度量了其扭曲的程度,即偏离平面曲线的程度。空间曲线的曲率和挠率在一起,与平面曲线的曲率类似。例如,他们都是弗勒内标架微分方程组中的系数,由弗勒内-塞雷公式给出。

定义编辑

C 是一条用弧长参数 给出的空间曲线,单位切向量为 。如果在某一点 C曲率 不等于 0,那么主法向量次法向量分别是

 

其中撇号代表对参数 的导数。空间曲线在一点处的切向量 和主法向量 所张成的平面就是密切平面,密切平面的法向量 是曲线的次法向量。如果曲线本身位于一个平面内,那么这个平面就是曲线的密切平面,相应的次法向量就是常向量。如果曲线不是平面曲线,则 不是常向量。因为 是单位向量,所以 垂直于 。又因为 ,所以 ,故 也垂直于 。所以  共线。

挠率 度量了次法向量在那一点旋转的速度。由方程

 

得出

 

注:次法向量的导数垂直于次法向量和切向量,从而和主法向量成比例。式中的负号仅仅是出于习惯,是这个学科历史发展的副产品。

挠率半径,通常记为 σ,定义为:

 

几何解释:挠率 度量了次法向量的方向的改变。挠率越大,次法向量关于切向量所在的轴的转动越快。

性质编辑

  • 平面曲线的挠率处处为 0;反过来,如果一条正则曲线的挠率处处为 0,那么这条曲线在一个平面上。
  • 螺旋线的曲率和挠率都是常数;反之,任何空间曲线如果其曲率和挠率都是非零常数,必然是螺旋线。挠率为正是右手螺旋,为负是左手螺旋。
  • 定倾曲线或称一般螺线(即切向量与一个固定方向交为定角的曲线)的挠率与曲率之比为常数;反之,如果正则曲线的挠率与曲率之比为常数,那么曲线必是定倾曲线。

另一种描述编辑

r = r(t) 是空间曲线的参数方程。假设参数是正则的且曲线的曲率处处非 0。精确地说就是,r(t)关于t三次可微,且向量 线性无关

那么挠率可以由下面的公式表达出来:

 

这里撇号表示对 t 求导数,× 号为向量的叉积。对 r = (x, y, z),上述公式的分量形式为

 

例子:圆螺旋线 的曲率、挠率都是常数,分别为

 

参考文献编辑

Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag,2001 ISBN 1-85233-152-6