有限體積法

有限体积法( 英文:finite volume method )是一种以数值方法偏微分方程的計算方式[1]。 在有限體積法中,將要描述的物理實體切分為網格單元來描述,並使用发散定理,將所有包含发散项的偏微分方程中的體積積分轉換為表面积分。然后將每個網格的项加總,便成為每個有限體積表面的通量。因为進入给定體積的通量与离开相鄰體積的通量相同,所以这些方法是守恆的。该方法用於许多计算流体动力学軟體。

有限体积法常被拿來與有限元素分析做比較,后者使用節點值来近似導數,或者使用有限元方法来使用局部數值来逼近解的局部近似值,并通過將它們加總在一起来形成全域近似值。另一方面,有限體積法會計算某个體積中的網格解之平均,然后使用此平均值来決定單元内解的近似值[2][3]

舉例编辑

一维平流問題:

 

 在這裡代表狀態變量,  代表的通量流量  。習慣上, 正值代表向右流動,而 負值代表向左流動。如果假設式(1)表示恆定面積的流動介質,則可以空间域   ,细分為數個網格單元以每個網格單元所佔的有限體積以 作為標記 。對於特定的單元  ,我们可以定義該體積某物理量( 壓力、溫度等 )之通量流量平均值 在時間   ,如式(2)

 

而在時間 時式(2)可寫為:

 

此處  分别代表上游和下游面或網格單元的交界面位置 

將式(1)積分,可得:

 

 

為了得到在時間  的有限體積平均值 ,在此積分位於整個有限體積的所有網格的流量 ,並 並將計算结果除以  ,即可得:

 

我們可以逆向積分的順序。同样,请记住,流量垂直於單元的表面。現在,因为一维  ,我们可以應用散度定理,即  ,并用的值代替散度的体积积分 在網格單元表面計算(某單元與其他單元之前後交界面   )的有限體積如下:

 

 

因此,對于上述問題,我们可以得出一个半離散的數值格式,其單元中心的索引為  ,且單元交界面通量的索引為  ,通過對時間對式(6)進行微分,可得:

 

通過某單元交界面通量的值 可以通过對單元平均值进行内插外推来獲得。式(7)對於該有限體積的平均值是精确的,因為在推導過程中未進行任何近似。

該方法也可以應用於2D形況,只要同時考慮單元四周交界面,北面、南面、东面和西面即可。

一般守恆法則编辑

我們還可以考慮以下PDE代表的一般守恒定律問題,

 

此處  代表狀態向量 代表相应的通量張量。同样,我們可以將空間域细分為有限體積的網格單元。對於特定的網格單元  ,將體積積分乘以單元的總體積   , 如式(9)。

 

將第一項積分可得体积平均值然后将散度定理應用於第二項,可得:

 

此處 代表單元的總表面積,  是垂直於表面並指向外的單位向量。最后,可得一般结果如式(11)。

 

同樣的,可以通過對單元平均值进行内插或外推来重建交界面通量的值。實際的數值將取决於問題的幾何形狀和軮格結構。

有限体积方案是守恆的,因為單元平均会通过交界面通量而變化。換句話說,某個單元所損失的物理量,必定會通過交界面而被另一單元所獲得!

相關文獻编辑

  • Eymard, R. Gallouët, T. R., Herbin, R.英语Raphaèle Herbin (2000) The finite volume method Handbook of Numerical Analysis, Vol. VII, 2000, p. 713–1020. Editors: P.G. Ciarlet and J.L. Lions.
  • Hirsch, C. (1990), Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley.
  • Laney, Culbert B. (1998), Computational Gas Dynamics, Cambridge University Press.
  • LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws, ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag.
  • LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, Cambridge University Press.
  • Patankar, Suhas V. (1980), Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, Hemisphere.
  • Tannehill, John C., et al., (1997), Computational Fluid mechanics and Heat Transfer, 2nd Ed., Taylor and Francis.
  • Toro, E. F. (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer-Verlag.
  • Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics, Springer-Verlag.

参考資料编辑

  1. ^ LeVeque, Randall. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. 2002. ISBN 9780511791253. 
  2. ^ Fallah, N. A.; Bailey, C.; Cross, M.; Taylor, G. A. Comparison of finite element and finite volume methods application in geometrically nonlinear stress analysis. Applied Mathematical Modelling. 2000-06-01, 24 (7): 439–455. ISSN 0307-904X. doi:10.1016/S0307-904X(99)00047-5 (英语). 
  3. ^ Ranganayakulu, C. (Chennu). Chapter 3, Section 3.1. Compact heat exchangers : analysis, design and optimization using FEM and CFD approach. Seetharamu, K. N. Hoboken, NJ. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487. 

外部連結编辑