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定義编辑

  為有限維實向量空間,並賦予標準的內積    中的根系是有限個向量(稱為)構成的集合  ,滿足下述條件:

 
<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件,在每條線上,其間交角只有兩種可能。
  1.   的元素張出  
  2. 對任一  ,其屬於   的純量倍數只有  
  3. 對任意  ,集合   在對   的反射之下不變。在此的反射是指
     
  4. (整性)若  ,則    方向的投影乘以2是   的整數倍,即:
     

根據性質三,整性等價於:對任意     僅差   的整數倍。此外,注意到性質四定義的尖積

 

並非一個內積,它未必對稱,而且只對第一個參數是線性的。

根系  定義為   的維度。

給定兩個根系  ,可考慮其正交直和  ,則   自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合(當然,假設  ),則稱之為不可約的。

對兩個根系  ,若存在其間的線性同構,使得   映至  ,則稱它們為同構的根系。

對於根系  ,對根的反射生成一個群,稱為該根系的外爾群。可證明此群在   上忠實地作用,因此必為有限群。

秩一與秩二的例子编辑

秩为1的例子编辑

在同構的意義下,秩一的根系僅有一種,由兩個非零向量   組成。此根系記作  

秩为2的例子编辑

秩二的根系有四種可能,对应于 ,其中 的情况[1]。注意根系并不由它生成的格所决定:  均生成正方形格,而    生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。 圖解如下:

   
根系 A1×A1
   
根系 A2
   
   
根系 B2
   
根系 G2
   
秩二之根系

   中的根系,而     中生成的子空間,則    中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係,例如:任意兩根的交角僅可能是    度。

正根與單根编辑

對於根系  ,可以取定滿足下述條件的正根子集  

  • 對每個根    中恰有一者屬於  
  • 對任意  ,若  ,則  

正根的取法並不唯一。取定一組正根後,  的元素被稱為負根

正根的選取等價於單根的選取。單根集是   中滿足下述條件的子集  

任意   中的元素皆可唯一地表成   中元素的整係數線性組合,而且其係數或者全大於等於零,或者全小於等於零。

選定一組單根後,可定義相應的正根為展開式中係數大於等於零的根。如此可得到單根與正根選取法的一一對應。

以鄧肯圖分類根系编辑

不可約根系與某類被稱為鄧肯圖的間有一一對應關係。鄧肯圖的分類是簡單的組合學問題,由此可導出不可約根系的分類定理。其構造方式如下:

給定一個不可約根系,選取一組單根。相應的鄧肯圖以這些單根為頂點。兩個單根   若不垂直,則有   個邊相連:若只有一個邊,則不取定向,否則則取自長度   長者(稱為長根)指向短者(稱為短根)的有向邊。

一個根系可以取多種不同的單根。然而,由於外爾群在這些選取上的作用是傳遞的,鄧肯圖的構造與單根的選取無關,它是根系內在的不變量。反之,給定具有相同鄧肯圖的兩個不可約根系,可以按圖配對單根及其間的內積,從而得到根系的同構。鄧肯圖給出的內積未必唯一,但至多差一個正常數倍,因而得到的根系是同構的 。

藉此,可將不可約根系的分類問題化約到連通鄧肯圖的分類。若某個鄧肯圖來自於根系,則從其頂點與邊定義的雙線性形式必然是鄧肯的;配上這個條件後,即可解決根系的分類。

鄧肯圖的分類列表詳如下圖。下標表示圖中的頂點數,亦即相應根系的秩。

 

不可約根系的性質编辑

      I  
An (n≥1) n(n+1)   n+1 (n+1)!
Bn (n≥2) 2n2 2n 2 2n n!
Cn (n≥3) 2n2 2n(n−1) 2 2n n!
Dn (n≥4) 2n(n−1)   4 2n−1 n!
E6 72   3 51840
E7 126   2 2903040
E8 240   1 696729600
F4 48 24 1 1152
G2 12 6 1 12

不可約根系依其鄧肯圖的種類命名。有四族根系: ,其下標分別取遍   的正整數,稱為典型根系;剩下五種情形稱為例外根系。下標表示根系之秩。在上表中,   表示短根的個數(若諸根同長,則皆視為長根),  表示其嘉當矩陣行列式,而   表示外爾群之階。

不可約根系的構造方法及描述编辑

An编辑

   中滿足   的點   所成之子空間。令    中長度為   的格子點。取   的標準基  ,則根具有   的形式,共有   個根。通常取單根為  

對垂直於  超平面的鏡射在   上的作用是交換第   個座標。因此   的外爾群不外就是對稱群  

  是李代數   的根系。

Bn编辑

B4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   1

 ,並令    中長度為   的格子點。共有   個根。通常取單根為   (短根)。

對短根   的反射即  

   僅差一個縮放,因此通常僅考慮   的情形。  是李代數   的根系。

Cn编辑

C4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 0   2

    中所有長度   的格子點與形如  的點,其中   是長度為一的格子點。共有   個根。通常取單根為   (長根)。

   僅差一個縮放加上旋轉 45 度,因此通常僅考慮   的情形。  是李代數   的根系。

Dn编辑

D4
 1 -1 0 0
0   1 -1 0
0 0   1 -1
0 0 1   1

    中長度   的格子點。共有   個根。通常取單根為   

  同構於  ,故通常僅考慮   的情形。  是李代數   的根系。

E8, E7, E6编辑

  是較為特殊的根系。首先定義   中滿足下述條件的點集  

  • 各座標均為整數,或均為半整數(不容相混)。
  • 八個座標的和為偶數。

定義    中長度為   的向量,即:

 

定義    與超平面   之交, 其中   是任取的根。同樣步驟施於  ,得到更小的根系  。根系   分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟,則會得到典型根系  

E8:偶坐標
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 1 1 0
 ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½  ½

另一種等價的描述是取   為:

  • 各坐標均為整數,而且其和為偶數;或
  • 各坐標均為半整數,而且其和為奇數。

   同構。將任意偶數個座標乘以負一,便可在兩者間轉換。  稱為   的偶坐標系,  稱為奇坐標系。

在偶坐標下,通常取單根為

 
 
 
E8:奇坐標
1 -1 0 0 0 0 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 1 -1
 ½  ½  ½

在奇坐標下,通常取單根為

 
 ,其中
 

(在上述定義中,若改取  ,將得到同構的結果。若改取  ,將得到   。至於  ,其坐標和為零,而   亦然,所以張出的向量空間維度不合所求。

刪去   可得到   的一組單根;再刪去  ,可得   的單根。

由於對   垂直等價於前兩個坐標相等,而對   垂直等價於前三個座標相等,不難導出   的明確定義:

E7 = (αZ7 ∪ (Z+½)7:αi2 + α12 = 2,∑αi + α1 ∈ 2Z),

E6 = (αZ6 ∪ (Z+½)6:αi2 + 2α12 = 2,∑αi + 2α1 ∈ 2Z)

F4编辑

F4
1 -1 0 0
0 1 -1 0
0 0 1 0

對於  ,取  ,並令   為滿足下述條件的向量:

  •  
  •   各坐標皆為奇數或皆為偶數。

此根系有   個根。通常取單根為   的單根再加上  

G2编辑

G2
1  -1   0
-1 2 -1

  有 12 個根,構成一個六邊形的頂點,詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為

  •  
  •  

在此沿用了之前的符號:  

根系與李群、李代數编辑

不可約根系的分類可用於研究下述對象:

参考文献编辑

引用编辑

  1. ^ Hall 2015 Proposition 8.8

来源编辑

  • Serre, J.-P., Jones, G. A., Complex Semisimple Lie Algebras (2001), Springer-Verlag, ISBN 3540678271
  • Serre, J.-P. Lie Algebras and Lie Groups (2005), Lecture Notes in Mathematics, no. 1500, Springer-Verlag, ISBN 3540550089 .
  • Dynkin, E. B. The structure of semi-simple algebras. (Russian) Uspehi Matem. Nauk (N.S.) 2, (1947). no. 4(20), 59–127.

參見编辑