設 為有限維實向量空間,並賦予標準的內積 。 中的根系是有限個向量(稱為根)構成的集合 ,滿足下述條件:
<α, β> 的整性條件使得 β 必然落在所示各條垂直線上。再配合 <β, α> 的整性條件,在每條線上,其間交角只有兩種可能。
- 的元素張出 。
- 對任一 ,其屬於 的純量倍數只有 。
- 對任意 ,集合 在對 的反射之下不變。在此的反射是指
-
- (整性)若 ,則 在 方向的投影乘以2是 的整數倍,即:
-
根據性質三,整性等價於:對任意 , 與 僅差 的整數倍。此外,注意到性質四定義的尖積
-
並非一個內積,它未必對稱,而且只對第一個參數是線性的。
根系 的秩定義為 的維度。
給定兩個根系 ,可考慮其正交直和 ,則 自然地構成其中的根系。若一個根系無法表成如此的組合(當然,假設 ),則稱之為不可約的。
對兩個根系 ,若存在其間的線性同構,使得 映至 ,則稱它們為同構的根系。
對於根系 ,對根的反射生成一個群,稱為該根系的外爾群。可證明此群在 上忠實地作用,因此必為有限群。
秩为1的例子编辑
在同構的意義下,秩一的根系僅有一種,由兩個非零向量 組成。此根系記作 。
秩为2的例子编辑
秩二的根系有四種可能,对应于 ,其中 的情况[1]。注意根系并不由它生成的格所决定: 和 均生成正方形格,而 和 生成六边形格。这仅仅是五种可能的二维格中的两种。
圖解如下:
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根系 A1×A1
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根系 A2
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根系 B2
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根系 G2
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秩二之根系
當 是 中的根系,而 是 在 中生成的子空間,則 是 中的根系。因此上述列表限制了任意秩根系中兩根的幾何關係,例如:任意兩根的交角僅可能是 或 度。
取 為 中滿足 的點 所成之子空間。令 為 中長度為 的格子點。取 的標準基 ,則根具有 的形式,共有 個根。通常取單根為 。
對垂直於 的超平面的鏡射在 上的作用是交換第 個座標。因此 的外爾群不外就是對稱群 。
是李代數 的根系。
B4
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0
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0 |
1 |
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0
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0 |
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-1
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0 |
0 |
0 |
1
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取 ,並令 為 中長度為 的格子點。共有 個根。通常取單根為 及 (短根)。
對短根 的反射即 。
跟 僅差一個縮放,因此通常僅考慮 的情形。 是李代數 的根系。
C4
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0
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0 |
1 |
-1 |
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0 |
1 |
-1
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0 |
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0 |
2
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取 , 為 中所有長度 的格子點與形如 的點,其中 是長度為一的格子點。共有 個根。通常取單根為 及 (長根)。
與 僅差一個縮放加上旋轉 45 度,因此通常僅考慮 的情形。 是李代數 的根系。
D4
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0 |
1 |
-1 |
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0 |
1 |
-1
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0 |
0 |
1 |
1
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取 , 為 中長度 的格子點。共有 個根。通常取單根為 及 。
同構於 ,故通常僅考慮 的情形。 是李代數 的根系。
E8, E7, E6编辑
是較為特殊的根系。首先定義 中滿足下述條件的點集 :
- 各座標均為整數,或均為半整數(不容相混)。
- 八個座標的和為偶數。
定義 為 中長度為 的向量,即:
-
定義 為 與超平面 之交, 其中 是任取的根。同樣步驟施於 ,得到更小的根系 。根系 分別有 72, 126 與 240 個根。若續行此化約步驟,則會得到典型根系 。
E8:偶坐標
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0 |
0 |
0 |
0 |
0
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1 |
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0 |
0
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1 |
-1 |
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0
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0 |
1 |
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1 |
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0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0
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½ |
½ |
½ |
½ |
½ |
½ |
½ |
½
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另一種等價的描述是取 為:
- 各坐標均為整數,而且其和為偶數;或
- 各坐標均為半整數,而且其和為奇數。
與 同構。將任意偶數個座標乘以負一,便可在兩者間轉換。 稱為 的偶坐標系, 稱為奇坐標系。
在偶坐標下,通常取單根為
-
-
-
E8:奇坐標
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1 |
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1 |
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0 |
1 |
-1
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-½ |
-½ |
-½ |
-½ |
-½ |
½ |
½ |
½
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在奇坐標下,通常取單根為
-
- ,其中
-
(在上述定義中,若改取 ,將得到同構的結果。若改取 ,將得到 或 。至於 ,其坐標和為零,而 亦然,所以張出的向量空間維度不合所求。
刪去 可得到 的一組單根;再刪去 ,可得 的單根。
由於對 垂直等價於前兩個坐標相等,而對 垂直等價於前三個座標相等,不難導出 的明確定義:
E7 = (α ∈ Z7 ∪ (Z+½)7: ∑αi2 + α12 = 2,∑αi + α1 ∈ 2Z),
E6 = (α ∈ Z6 ∪ (Z+½)6: ∑αi2 + 2α12 = 2,∑αi + 2α1 ∈ 2Z)
F4
1 |
-1 |
0 |
0
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0 |
1 |
-1 |
0
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0 |
0 |
1 |
0
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-½ |
-½ |
-½ |
-½
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對於 ,取 ,並令 為滿足下述條件的向量:
-
- 各坐標皆為奇數或皆為偶數。
此根系有 個根。通常取單根為 的單根再加上 。
有 12 個根,構成一個六邊形的頂點,詳如秩二的例子一節所示。通常取單根為
-
-
在此沿用了之前的符號: 。