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定义在环形上的拉普拉斯方程上的一个解。拉普拉斯算子是椭圆算子的最有名的一个例子。

椭圆算子数学偏微分方程理论中的一类微分算子,它是拉普拉斯算子的泛化。椭圆算子定义为所有最高阶导数的系数为正的微分算子,这意味着算子没有实的特征方向。

椭圆算子是典型的位势论,并且它们频繁地出现在静电学连续介质力学中。椭圆算子的正则性意味着它的解通常是光滑函数(如果算子的系数是光滑的)。双曲英语Hyperbolic partial differential equation方程和抛物方程的稳定解通常要求解椭圆方程。

定义编辑

  上的线性微分算子 

 

被称为椭圆算子,如果对任意 ,任意非零 满足

 

在许多应用中仅满足上述条件还远远不够,当 时可用一致椭圆条件代替它:   其中C是正常数。注意到椭圆性只依赖于最高阶项。

非线性算子

 

是椭圆算子如果它关于 的一阶泰勒展开式在任意一点处都是线性椭圆算子。

实例:二阶算子编辑

为了说明问题,我们选取二阶偏微分算子形式,

 

其中 .如果满足高阶项系数矩阵x

 

正定实系数对称矩阵,则这样的算子叫做椭圆算子。

参看编辑