標準差

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  提示：本条目的主题不是标准误差。

標準差（又稱标准偏差、均方差，英语：Standard Deviation，缩写SD），数学符号σ（sigma），在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義：為方差開算术平方根，反映组内个体间的离散程度；标准差与期望值之比为标准离差率。測量到分佈程度的結果，原則上具有兩種性質：

1. 為非負數值（因為開平方後再做平方根）；
2. 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾遜引入到統計中。

目录

闡述及應用

簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差k个标准差”，即在 X̄ ± kS 的样本（Sample）范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

母體的標準差

基本定義

$\ SD={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$

$\mu$为平均值（${\overline {x}}$）。

簡易口訣：離均差平方的平均；方均根。

简化计算公式

上述公式可以如下代換而簡化：

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}\mu +\mu ^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-\left(2\mu \sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2\mu (N\mu )+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2N\mu ^{2}+N\mu ^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-N\mu ^{2}\end{aligned}}$

所以：

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(X_{i}-\mu )^{2}}}$

$={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-{\frac {1}{N}}N\mu ^{2}}}$

$={\sqrt {{\frac {\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-\mu ^{2}}}$

根號裡面，亦即變異數（$\sigma ^{2}$）的簡易口訣為：「平方和的平均」減去「平均的平方」。

母體為随机变量

一隨機變量$X$的標準差定義為：

$\sigma ={\sqrt {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}}}$

須注意並非所有隨機變量都具有標準差，因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量$X$為$x_{1},\cdots ,x_{n}$具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

離散随机变量的标准差

若$X$是由實數$x_{1},x_{2},...,x_{n}$構成的離散隨機變數（英语：discrete random variable），且每個值的機率相等，則$X$的標準差定義為：

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left[(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+\cdots +(x_{N}-\mu )^{2}\right]}}$　，其中　$\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})$

換成用$\sum$來寫，就成為：

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$　，其中　$\mu ={\frac {1}{N}}(x_{1}+\cdots +x_{N})$

目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個$x_{i}$可以有不同機率$p_{i}$，則$X$的标准差定義為：

$\sigma ={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}}$　，其中　$\mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.$

连续随机变量的标准差

若$X$為概率密度$p(X)$的连续随机变量（英语：continuous random variable），則$X$的标准差定義為：

$\sigma ={\sqrt {\int (x-\mu )^{2}\,p(x)\,dx}}$

其中

$\mu =\int x\,p(x)\,dx$

标准差的特殊性质

对于常数$c$和随机变量$X$和$Y$：

$\sigma (X+c)=\sigma (X)$

$\sigma (cX)=c\cdot \sigma (X)$

$\sigma (X+Y)={\sqrt {\sigma ^{2}(X)+\sigma ^{2}(Y)+2\cdot {\mbox{cov}}(X,Y)}}$

其中：

• ${\mbox{cov}}(X,Y)$表示随机变量$X$和$Y$的协方差。
• $\sigma ^{2}(X)$表示$[\sigma (X)]^{2}$，即$Var(X)$（$X$的變異數），對$Y$亦同。

样本的标准差

在真实世界中，找到一个总体的真实的标准差並不實際。大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值$X_{1},\cdots ,X_{N}$當中取出一樣本數值組合$x_{1},\cdots ,x_{n}:n<N$，常定義其樣本標準差：

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

样本方差$s^{2}$是对总体方差$\sigma ^{2}$的无偏估计。之所以$s$中的分母要用$n-1$而不是像总体样本差那样用$n$，是因为$\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)$的自由度为$n-1$，这是由于存在约束条件$\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)=0$。

範例

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }：

• 第一步，計算平均值${\overline {x}}$︰

${\overline {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}$

當${\begin{smallmatrix}N=4\end{smallmatrix}}$（因為集合裏有4個數），分別設為：

${\begin{aligned}x_{1}&=5\\x_{2}&=6\\x_{3}&=8\\x_{4}&=9\\\end{aligned}}$

${\overline {x}}={\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}x_{i}$$(N=4)$

${\overline {x}}={\frac {1}{4}}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)$

${\overline {x}}={\frac {1}{4}}\left(5+6+8+9\right)$

${\overline {x}}=7$（此為平均值）

• 第二步，計算標準差$\sigma \,$︰

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$$(N=4)$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{4}(x_{i}-7)^{2}}}$$({\overline {x}}=7)$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(x_{1}-7)^{2}+(x_{2}-7)^{2}+(x_{3}-7)^{2}+(x_{4}-7)^{2}\right]}}$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left[(5-7)^{2}+(6-7)^{2}+(8-7)^{2}+(9-7)^{2}\right]}}$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left((-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}\right)}}$

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\left(4+1+1+4\right)}}$

$\sigma ={\sqrt {\frac {10}{4}}}$

$\sigma \approx 1.58114\,\!$（此為標準差）

常態分佈的規則

主条目：常態分佈

深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍，在常態分佈中，此範圍所佔比率為全部數值之68%；兩個標準差之內（深藍，藍）的比率合起來為95%；三個標準差之內（深藍，藍，淺藍）的比率合起來為99.7%。

在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確，則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍，約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍，以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

$f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

${\text{Proportion}}=\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)$

${\text{Proportion}}\leq x={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right]$.

Percentage within(z)

z(Percentage within)

數字比率 標準差值	機率	包含之外比例
	百分比	百分比	比例
0.318 639σ	25%	75%	3 / 4
0.318 639σ	25%	75%	3 / 4
0.674490σ	50%	50%	1 / 2
0.994458σ	68%	32%	1 / 3.125
1σ	68.2689492%	31.7310508%	1 / 3.1514872
1.281552σ	80%	20%	1 / 5
1.644854σ	90%	10%	1 / 10
1.959964σ	95%	5%	1 / 20
2σ	95.4499736%	4.5500264%	1 / 21.977895
2.575829σ	99%	1%	1 / 100
3σ	99.7300204%	0.2699796%	1 / 370.398
3.290527σ	99.9%	0.1%	1 / 1,000
3.890592σ	99.99%	0.01%	1 / 10,000
4σ	99.993666%	0.006334%	1 / 15,787
4.417173σ	99.999%	0.001%	1 / 100,000
4.5σ	99.9993204653751%	0.0006795346249%	1 / 147,159.5358 3.4 / 1,000,000 (每一邊)
4.891638σ	99.9999%	0.0001%	1 / 1,000,000
5σ	99.9999426697%	0.0000573303%	1 / 1,744,278
5.326724σ	99.99999%	0.00001%	1 / 10,000,000
5.730729σ	99.999999%	0.000001%	1 / 100,000,000
6σ	99.9999998027%	0.0000001973%	1 / 506,797,346
6.109410σ	99.9999999%	0.0000001%	1 / 1,000,000,000
6.466951σ	99.99999999%	0.00000001%	1 / 10,000,000,000
6.806502σ	99.999999999%	0.000000001%	1 / 100,000,000,000
7σ	99.9999999997440%	0.000000000256%	1 / 390,682,215,445

標準差與平均值之間的關係

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说，如果用平均值來考量數值的中心的话，則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為：設$X_{1},\cdots ,X_{N}$為實數，定義函数：

$\sigma (\mu )={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}}$

使用微積分或者通过配方法，不難算出$\sigma (\mu )$在下面情況下具有唯一最小值：

$\mu ={\overline {x}}$

几何学解释

从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从$n$维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，$X_{1},X_{2},X_{3}$。它们可以在3维空间中确定一个点$P=(X_{1},X_{2},X_{3})$。想像一条通过原点的直线$L={(r,r,r):r\in \mathbb {R} }$。如果这组数据中的3个值都相等，则点$P$就是直线$L$上的一个点，$P$到$L$的距离为0，所以标准差也为0。若这3个值不都相等，过点$P$作垂线$PR$垂直于$L$，$PR$交$L$于点$R$，则$R$的坐标为这3个值的平均数：

$R=({\overline {x}},{\overline {x}},{\overline {x}})$

运用一些代数知识，不难发现点$P$与点$R$之间的距离（也就是点$P$到直线$L$的距离）是$\sigma {\sqrt {3}}$。在$n$维空间中，这个规律同样适用，把$3$换成$n$就可以了。

外部链接

• Standard Deviation Calculator，标准差计算器 （英文）