正交变换

線性代數中,正交變換線性變換的一種。如果对于任意向量其內積等於正交轉換後之向量之內積,则称之为正交变换。

按照长度的定义,可知正交轉換後的向量長度與轉換前的長度相同[1]

其中在空間內,表示維度。

其中為向量長度,分別為之元素,正交變換不會影響轉換前後向量間的夾角和內積長度。

在矩陣表示形式上,如果為正交變換,則為正交矩陣,對於正交變換之正交矩陣,其每個列互為正交,令之矩陣,取兩個不相同的列 ()遵守下列關係。

性質编辑

1. 正交變換 不會改變向量間的正交性,如果  正交,則  亦為正交。

 

根據畢氏定理,正交變換後的向量會符合下式:

 

因為正交變換屬於線性轉換:

 

正交變換前後向量的長度相同:

 

再根據畢氏定理,且和正交:

 

再根據正交變換的性質,正交變換前後向量的長度相同:

 

2. 如果  皆為正交矩陣,則 亦為正交矩陣。

 

令一正交變換為:

 

正交變換後長度不變:

 

3. 如果 為正交矩陣, 的反矩陣 亦為正交矩陣。

 

令一正交變換為:

 

單位矩陣  相乘為 自己,且矩陣和反矩陣相乘為單位矩陣:

 

正交變換後長度不變:

 

4. 正交變換容易做反運算

 

令ㄧ正交矩陣   相乘為一對角矩陣 ,其中上標 表示Hermitain運算。

 

 乘上自己的反矩陣 可得一單為矩陣 

 

 可分解為  

 

根據上式,將兩側乘上 的反矩陣 即可得知的反矩陣知公式。

 

計算 的反矩陣 比直接求反矩陣容易,只要相對角線之值做倒數即可。如果 的每一行皆為單位向量,則:

 

5. 對於正交變換 ,如果  可以做內積,  做內積之值等於  做內積之值。[2]

 

根據極化恆等式:

 

將上式代入  

 

因為 為線性轉換,轉換前做加減法和轉換後做加減法之值應相同:

 

正交變換前後向量的長度相同:

 

再根代入  之據極化恆等式:

 

範例和應用编辑

正交變換的種類非常的廣,像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都屬於正交變換。對矩陣做旋轉或是鏡射也屬於正交變換。這裡會舉出一些簡單的正交變換例子。

1. 對於 以subspace  為基準做鏡射(  in  ),令 為平行之向量, 為正交之向量[3]

 

因為  互為正交,可以根據畢氏定理做分解:

 

2. 這裡以DFT為例證明DFT矩陣為正交矩陣,對於 點DFT,可得一個 矩陣,且 

 

 為symmetric矩陣,令的 每個列為:

 

令任意二列做內積:

 

上式可以化成pulse function,只有列和自己做內積才為 ,即:

 

3. 正交變換可以參數計算變得容易,令 為正交矩陣的列,列彼此互相正交, 而為 對應之參數,即給定下式中的  ,參數 之值可以很容易的計算出來。

 

如果要求出 ,則將上式與 做內積:

 

因為在 時,  做內積為0,可得下式:

 

最後同除 即可得到對應之參數:

 

4. 在訊號壓縮上,對於原始訊號:

 

假設進行壓縮,要壓縮成:

 

 時, 越大, 越小

5. 在通訊應用上,會利用正交基來和訊號做調變,正交的特性會使通道間不會互相干擾。

参见编辑

参考文献编辑

3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf

4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides] http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf

5. (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf