隸屬函數

(重定向自歸屬函數

隸屬函數membership function)也稱為歸屬函數模糊元函數,是模糊集合中會用到的函數,是一般集合指示函數的一般化[1]。指示函數可以說明一個集合中的元素是否屬於特定子集合。一元素的指示函數的值可能是0或是1,而一元素的隸屬函數會是0到1之間的數值,表示元素屬於某模糊集合的「真實程度」(degree of truth)。

例如質數為一集合,整數3屬於質數,其指示函數為1,整數4不屬於質數,其指示函數為0。但針對模糊集合,可能不會有如此明確的定義,假設胖子是模糊集合,可能體重80公斤的人其隸屬函數為0.9,體重70公斤的人其隸屬函數為0.8。

隸屬函數數值是在0到1之間,看似類似機率,但兩者是不同的概念。

隸屬函數最早是由盧菲特·澤德在1965年第一篇有關模糊集合的論文中提及,他在模糊集合的論文中,提出用值域在0到1之間的隸屬函數,針對定義域中所有的數值定義。

定義编辑

針對集合 ,集合 上的隸屬函數是將集合 映射到單位實數區間 的函數。

 集合上的隸屬函數對應 集合中的模糊子集。對應模糊集合 的隸屬函數一般會用 來表示。針對集合中的元素  的數值稱為 對應模糊集合 的隸屬度,表示符合模糊集合 的程度。0表示元素 不是模糊集合的元素,1表示元素 是模糊集合的元素,0到1之間的值表示此元素部份符合模糊集合。

 
模糊集合的隸屬函數

有時[2]會用一個更通用的定義,隸屬函數的值可以是任意的固定代數或是数学结构中取值 ,一般會要求 至少是偏序关系或是格 (数学)。一般值在[0, 1]之間的隸屬函數此時會稱為[0, 1]-值隸屬函數。

容度编辑

隸屬函數的一個應用是在決策理論中的容度(capacity)。

決策理論中,容度定義為函數 ,其定義域S是某個集合的子集,值域為 ,函數 滿足集合定義上的單調而且正規化(也就是 )。這是廣義的機率量測英语Probability measure,其中可數可加性的概率公理不一定要成立。容度用來表示某一事件可能性的量測,而特定結果下,其容度的期望值可以對容度作Choquet積分英语Choquet integral求得。

相關條目编辑

參考資料编辑

  1. ^ Timothy J. Ross. Fuzzy Logic with Engineering Applications. John Wiley & Sons. 8 April 2005: 178–. ISBN 978-0-470-86076-2. 
  2. ^ 最早是Goguen (1967).

參考書籍编辑

  • Zadeh L.A., 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]
  • Goguen J.A, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174