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數學中,一個等比關係(proportion)指的是兩個比例(英語:ratio 或 proportionality)的相等關係,記為 ,亦即,。比例論(theory of proportion)是研究比例與等比關係的理論。

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歷史编辑

畢達哥拉斯學派的比例論编辑

畢達哥拉斯學派發現了不可通約數(無理數 ,這破壞了他們的比例論[1]

如果兩個物體的比例是相同的,以數學式來表示,是一個等比關係  。其中, 正整數。而且,存在一個正整數   使得   

無理數的存在,表示物體的比例可能無法以正整數來表示,這破壞了他們以正整數來描述自然規律的哲學。

尤得塞斯的比例論编辑

為了挽救比例論,尤得塞斯提出了以幾何量為基礎的比例論,被歐幾里得收錄在《幾何原本》的第五冊中。其中的第五條定義是其比例論的核心:

  若且唯若底下三個等式關係成立:
 
 
 
其中   為正整數(幾何量的整倍數)。

這個定義迴避了數系的規範,因此,即使   是無理數,等比關係也可以成立。

參考來源编辑

  1. ^ Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Vol 1, page 68

參考编辑

  • Thomas Bradwardine: A View of Time and a Vision of Eternity in Fourteenth Century Thought, Edith Wilks Dolnikowski
  • A History of Mathematics, Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach