漸伸線

(重定向自渐伸线

漸伸線(involute)(或稱漸開線(evolvent))和漸屈線(evolute)是曲線的微分幾何上互為表裡的概念。若曲線A是曲線B的漸伸線,曲線B是曲線A的漸屈線。

在曲線上選一定點S。有一動點PS出發沿曲線移動,選在P的切線上的Q,使得曲線長SP 和直線段長PQ 相同。漸伸線就是Q的軌跡。

若曲線B有參數方程,其中,曲線A的方程為

曲線的漸屈線是該曲線每點的曲率中心的集。

若該曲線有參數方程),則其漸屈線為

每條曲線可有無窮多條漸伸線,但只有一條漸屈線。

漸屈線 漸伸線
懸鏈線 曳物線
圓內螺線外擺線 相似的圓內螺線/外擺線
擺線 相同的擺線
半立方拋物線 拋物線

參數化曲線编辑

漸開線方程曲線的參數化定義的函數( x(t) , y(t) ) 是:

 

 

範例编辑

 
圓的漸伸線
(反向, by unwinding)
 
懸鏈線的漸開線是一個 曳物線


圓的漸伸線编辑

圓的漸伸線會形成一個類似阿基米德螺線的圖形.

 
 

其中 是圓的半徑, 為參數

  • 極坐標系中,   一個圓的漸開線的參數方程可以寫成:
 
 

其中   是圓的半徑  為參數

通常,一個圓的漸開線常被寫成寫成:

 
 .

歐拉建議使用圓的漸開線作為齒輪的形狀, 這個設計普遍存在於目前使用,稱為漸開線齒輪


懸鏈線的漸開線编辑

一個懸鏈線的漸開線 會通過此懸鏈線的頂點 ,形成曳物線。 在笛卡兒坐標系中,一個懸鏈線的漸開線的參數方程可以寫成:

 

 

其中t 是參數,而sech是雙曲正割函數(1/cosh(x))

衍生

 

我們得到  

 .

替代成  

可得到  .

擺線的漸開線编辑

一個 擺線的漸開線是另一個與它 全等的擺線 在笛卡兒坐標系中,一個擺線的漸開線的參數方程可以寫成:

 
 

其中 t 是角度, r半徑

另外參見编辑


外部連結编辑