灾难性抵消

在数值分析中，灾难性抵消（英語：catastrophic cancellation）是指两个大小相近的数值的近似值相减，得到的差值可能和原始数值相减得到的真实的差值有很大差异，因而近似值的差值不能用作真实值差值的近似值。

例如，如果有两个螺柱，一个长$L_{1}=254.5\,{\text{cm}}$，另一个长$L_{2}=253.5\,{\text{cm}}$，用厘米刻度的尺子测量其长度，得到的近似值为${\tilde {L}}_{1}=255\,{\text{cm}}$和${\tilde {L}}_{2}=253\,{\text{cm}}$。在相对误差方面，它们是真实长度的良好的近似值：近似值的误差小于真实长度的2%，即$|L_{1}-{\tilde {L}}_{1}|/|L_{1}|<2\%$ 。

但是，如果用这些近似长度相减，则差值为${\tilde {L}}_{1}-{\tilde {L}}_{2}=255\,{\text{cm}}-253\,{\text{cm}}=2\,{\text{cm}}$，而长度之间的真实差值是$L_{1}-L_{2}=254.5\,{\text{cm}}-253.5\,{\text{cm}}=1\,{\text{cm}}$。用近似值算出的差$2\,{\text{cm}}$，和用真实值算出的差$1\,{\text{cm}}$相比，偏离了100%。

即使差值计算本身是精确的，灾难性抵消仍然有可能发生，如上例所示——它不是哪种类型的运算（如浮点运算）的属性；当输入值本身是近似值时，进行减法运算就必有灾难性抵消。实际上，根据Sterbenz引理，浮点运算中，当输入值足够接近时，浮点差可以精确计算——浮点减法运算本身并未引入捨入誤差。

形式分析

形式上，发生灾难性抵消是因为减法运算对邻近数值的输入是病态的：即使近似值${\tilde {x}}=x(1+\delta _{x})$和${\tilde {y}}=y(1+\delta _{y})$与真实值$x$和$y$ 相比，相对误差$|\delta _{x}|=|x-{\tilde {x}}|/|x|$和$|\delta _{y}|=|y-{\tilde {y}}|/|y|$不大，近似值差${\tilde {x}}-{\tilde {y}}$的与真实值差相对误差也会与真实值差$x-y$成反比：

${\begin{aligned}{\tilde {x}}-{\tilde {y}}&=x(1+\delta _{x})-y(1+\delta _{y})=x-y+x\delta _{x}-y\delta _{y}\\&=x-y+(x-y){\frac {x\delta _{x}-y\delta _{y}}{x-y}}\\&=(x-y){\biggr (}1+{\frac {x\delta _{x}-y\delta _{y}}{x-y}}{\biggr )}\end{aligned}}$

因此，两个近似值的精确差值${\tilde {x}}-{\tilde {y}}$与真实数字差值$x-y$的相对误差为：

$\left|{\frac {x\delta _{x}-y\delta _{y}}{x-y}}\right|$

如果真实输入$x$和$y$很接近，结果可能会非常大。