# 条件数

## 矩阵条件数

${\displaystyle \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert }$ ,

${\displaystyle \kappa (A)=\Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert .}$ [1]

• ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle l_{2}}$  矩阵范数
${\displaystyle \kappa (A)={\frac {\sigma _{max}(A)}{\sigma _{min}(A)}}}$  其中${\displaystyle \sigma _{max}(A)}$ ${\displaystyle \sigma _{min}(A)}$ 分别是${\displaystyle A}$ 的极大和极小奇异值。因此
• ${\displaystyle A}$ 正规矩阵
${\displaystyle \kappa (A)=\left|{\frac {\lambda _{max}(A)}{\lambda _{min}(A)}}\right|}$  (${\displaystyle \lambda _{max}(A),\ \lambda _{min}(A)}$ 分别是${\displaystyle A}$ 的极大和极小（根据模数）特征值
• ${\displaystyle A}$ 酉矩阵
${\displaystyle \kappa (A)=1}$
• ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle l_{\infty }}$  矩阵范数${\displaystyle A}$ 下三角矩阵，非奇异（也即${\displaystyle a_{ii}\neq 0\;\forall i}$ ）则：${\displaystyle \kappa (A)\geq {\frac {\max _{i}(|a_{ii}|)}{\min _{i}(|a_{ii}|)}}}$

## 其它意义下的条件数

${\displaystyle \max \left\{\left|{\frac {f(x)-f(x^{*})}{f(x)}}\right|\left/\left|{\frac {x-x^{*}}{x}}\right|\right.:|x-x^{*}|<\epsilon \right\}}$

${\displaystyle \left|{\frac {f'(x)}{f(x)}}\right|.\left|x\right|}$ .