离散正弦变换

離散正弦變換(DST for Discrete Sine Transform)是一種與傅立葉變換相關的變換,類似離散傅立葉變換,但是只用實數矩陣。離散正弦變換相當於長度約為它兩倍,一個實數且奇對稱輸入資料的的離散傅立葉變換的虛數部分(因為一個實奇輸入的傅立葉變換為純虛數奇對稱輸出)。有些變型裡將輸入或輸出移動半個取樣。

一種相關的變換是離散餘弦變換,相當於長度約為它兩倍,實偶函数離散傅立葉變換。參考DCT本文有關邊界條件和不同的DCT和DST關聯的一般討論。

應用编辑

離散正弦變換常被用來由譜方法解偏微分方程,這時候離散正弦變換的不同的變數對應著兩端不同的奇/偶邊界條件。

定義编辑

形式上,離散正弦變換是一個線性可逆函數 ,其中R實數集,或等價的說是一個  方陣。離散正弦變換有幾種稍微不同定義的變形,皆根據以下公式之一把 個實數 變換到另 個實數 

DST-I编辑

 

一個DST-I矩陣為正交矩陣(差一個係數)。

 的實數abc的DST-I變換等價於8點實數0abc0(-c)(-b)(-a)(奇對稱)的DFT轉換,再除2(而DST-II~DST-IV等價於DFT有半個取樣的位移)。

因而DST-I對應的邊界條件是:  奇對稱,也對 奇對稱; 也類似。

DST-II编辑

 

DST-III编辑

 

DST-IV编辑

 

一個DST-IV矩陣為正交矩陣(差一個係數)。

DST V-VIII编辑

反變換编辑

DST-I的反變換是把DST-I乘以 。 DST-IV的反變換是把DST-IV乘以 。 DST-II的反變換是把DST-III乘以 ,反之亦然。

類似離散傅立葉變換,這些定義前面的歸一係數只是習慣,不同人有不同定義。例如有人在變換前面乘 ,使反變換和變換在形式上更相似,而不需另外的歸一係數。

計算编辑

相關條目编辑

參考資料编辑

  • S. A. Martucci, "Symmetric convolution and the discrete sine and cosine transforms," IEEE Trans. Sig. Processing SP-42, 1038-1051 (1994).
  • Matteo Frigo and Steven G. Johnson: FFTW, http://www.fftw.org/. A free (GPL) C library that can compute fast DSTs (types I-IV) in one or more dimensions, of arbitrary size. Also M. Frigo and S. G. Johnson, "The Design and Implementation of FFTW3," Proceedings of the IEEE 93 (2), 216–231 (2005).

外部連結编辑