秩 (J编程语言)

(Rank)是对标量(非面向阵列)编程语言中循环的推广[1][2]。它还是Lisp语言中的mapcar[3],及现代函数式编程语言中的map高阶函数的推广,和APL\360中的标量扩展、内(矩阵)积和外积的推广。秩的正规实现是在J语言中,但在Dyalog[4]APLISO的扩展APL技术标准和NARS2000中也能获得。

简介编辑

秩有一些不同的含义。一般的说,秩的概念用于依据它们的子阵列来对待正交阵列[5]。例如,二维阵列可以在秩2上,按一个完整的阵列来处理;或者在秩1上,工作于它所包含的一维列或行之上;或在秩0上,工作在它的单独元素之上。J语言中有三种秩:

  • 名词秩,名词的秩是非负整数
  • 动词秩,动词的秩是三个整数的列表。
  • 秩连词,秩连词"用来通过指定的秩导出一个动词。

名词秩编辑

在J中,名词是阵列英语array data type。名词的秩是这个阵列的维数。派生的动词#@$确定了一个名词的秩。

人们通常用如下名字称呼低维阵列[6],尽管有时这是有争论的[7]

名字
原子标量 0
列表向量 1
表格矩阵 2
立体张量 3

一个N维整数阵列可以通过i.建立,它接受一个整数向量作为参数。其中整数的数目定义了维数而每个整数的绝对值定义对应维的长度。

   i. 3
0 1 2

   i. 2 3
0 1 2
3 4 5

   i. 2 3 4
 0  1  2  3
 4  5  6  7
 8  9 10 11

12 13 14 15
16 17 18 19
20 21 22 23

秩作为循环的推广编辑

理解秩要求知道一些非常基础的面向阵列编程概念。在大多数基于阵列的语言中,归约(reduction)用前向斜杠/来指示。在J中,斜杠接受一个函数左参数,和要被这个函数归约的阵列作为右参数。

   +/ 1 2 3
6

预期的结果是1 + 2 + 3

现在我们用加法归约一个二维阵列。

   +/ i. 2 3
3 5 7

预期结果是0 1 2 + 3 4 5。归约下行到每一列,将这一列的所有数都加在一起。

应用+/到二维阵列对应于如下C语言代码片段[8]

for(j = 0; j < 3; ++j) {
    sum[j] = 0;
}
for(i = 0; i < 2; ++i) {
    for(j = 0; j < 3; ++j) {
        sum[j] += array[i][j];
    }
}

假定我们希望合计每一列的项目,如在C语言代码中:

for(i = 0; i < 2; ++i) {
    sum[i] = 0;
    for(j = 0; j < 3; ++j) {
        sum[i] += array[i][j];
    }
}

要生成这个结果3 12。我们在J中不用循环,可以简单的使用秩连词:

   +/"1 i. 2 3
3 12

为了进一步展示在J中秩是如何工作的,我们可以将最初的表达式看作是秩2。算符被映射到这个阵列的最高秩之上。

   +/"2 i. 2 3
3 5 7

动词秩编辑

在J中,动词是接受名词参数产生名词结果的函数。动词的秩控制着动词如何应用到秩大于0的名词。这个动词秩被表达为三个数:

  1. 一元情况的秩
  2. 二元情况用于左参数的秩
  3. 二元情况用于右参数的秩

例如,−y使用作为单子是一元情况,x−y使用作为二元体是二元情况。在所有情况下,有一些底层动词被应用于“单元”(cell),它是指示秩的子阵列。如果参数没有那么多维,就是整个参数。

在动词中,负数秩被解释为作为参数提供的名词秩减少指示的值。(但永不小于零。)例如,一个动词具有一元秩负1,在给它一个秩3的参数的时候,将参数分解成秩2整列的一个列表。动词的主体被应用到这些二维子阵每个之上一次。

在特定动词和特定名词的上下文下,名词的诸维被分开成前缀维的序列,叫做框架(frame);和后缀维的序列,叫做单元(cell)。正数动词秩指示单元维的数目,负数动词秩指示框架维的数目。

在二元的情况下,有两个框架:一个用于左参数,而另一个用于右参数。这些框架必须一致。如果框架不同一,一个必须是另一个的前缀;例如:(i. 2 3) *"0 1 i. 2 3 4,将左侧的每个标量(0维项目)乘以右侧的每个向量(1维项目)。求值这个动词的结果将有最长框架的维数作为结果的前缀维。跟随着结果维,如果有的话,将是动词应用到有关单元的结果。在退化的情况下,参数没有足够的维数,动词的秩被有效的缩减(这将影响它的结果)。例如:

   10 + 4 5 6
 14 15 16

这里的动词+有秩0 0 0,左参数有秩0,而右参数有秩1(长度3的1维)。因此,左参数有秩0框架而右参数有秩1框架(维长度3)。左参数的(空)框架是右参数的框架的有效后缀,所以这是一个有效的运算,结果有秩1和维长度3。

秩连词编辑

秩连词接受一个动词左参数和一个名词右参数来建立一个新动词。名词右参数构成自三个数,分别指定一元秩、二元左秩和二元右秩[9]

如果右参数只有两个数,它们被接受为二元情况下的秩:第一个数是左参数的秩,而第二个数是右参数的秩。所以,如果我们想要将一个向量加到一个矩阵的每个向量:

   1 2 3 +"1 1 i. 3 3
1 3  5
4 6  8
7 9 11

如果我们转而想将左侧的每个标量加到右侧的每个向量上,我们将如下这么做:

   1 2 3 +"0 1 i. 3 3
1  2  3
5  6  7
9 10 11

如果右参数只有一个数,它被接受为所有三种情况下的秩。

如果右参数是个动词,就使用它的秩。例如,如下这些都派生相同的动词:

* +"0 0 0
* +"0 0
* +"0
* +"+

如果给秩连词的左参数是个名词,建立一个常量动词。这个动词的主体忽略任何参数的值,并总是生成这个名词的结果。

引用编辑

  1. ^ Slepak, Justin; Shivers, Olin; Manolios, Panagiotis. An array-oriented language with static rank polymorphism (PDF). [2020-05-19]. (原始内容存档 (PDF)于2020-01-10). 
  2. ^ Loopless Code I: Verbs Have Rank. Jsoftware. [2020-05-19]. (原始内容存档于2019-01-03). 
  3. ^ The mapcar Function. Free Software Foundation. [2020-05-19]. (原始内容存档于2020-01-09). 
  4. ^ Dyalog页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ Bernecky, R. An Introduction to Function Rank. APL88 Conference Proceedings, APL Quote Quad 18 (2). December 1987. 
  6. ^ Rabanser, Stephan; Shchur, Oleksandr; Günnemann, Stephan. Introduction to Tensor Decompositions and their Applications in Machine Learning. 2017-11-29. arXiv:1711.10781  [stat.ML]. 
  7. ^ kgwgk; nabla9; azag0; tome; radarsat1. HPTT: A High-Performance Tensor Transposition C++. Hacker News. Y Combinator. 2017-04-24 [2019-12-10]. (原始内容存档于2018-09-07). 
  8. ^ Controlling Verb Execution By Specifying a Rank. Jsoftware. [2020-05-19]. (原始内容存档于2019-01-03). 
  9. ^ Burke, Chris. Essays: Rank. Jsoftware. 2014-09-12 [2020-05-19]. (原始内容存档于2018-09-06). 

延伸阅读编辑

  • Abrams, P.S. §II.E. An APL Machine (PDF). Stanford University (学位论文). February 1970 [2020-05-19]. (原始内容存档 (PDF)于2016-03-05). 
  • Bernecky, R.; Iverson, K.E. Operators and Enclosed Arrays. Proceedings. 1980 APL Users Meeting. Jsoftware. 6–8 October 1980 [2020-05-19]. (原始内容存档于2016-03-16). 

外部链接编辑