種樹問題

離散幾何中,原始的果園种植问题要求的是在一個平面中過定点的3点线的可达到的最大数量。它也被称为植树造林问题,或只簡稱為果園问题。也可以是研究有多少k点线可以存在。Hallard T.克罗夫特和埃尔德什·帕尔证明了tk > c n2 / k3n是点的数量並且tkk点线的数量。[1]

安排的九点(相关的冠毛配置)形成3点线。

他们的構造物包含了一些m-点线,其中m>k。你也可以问,如果这些是不允许的问题。

整数序列编辑

定义t3果園(n)为過n定点可達到的3点线的最大数量。

在1974年,对于任意的正整數点nt3果園(n)被證明是(1/6)n2 − O(n)。

第一個t3果園(n)的数值在右表中(OEIS中的数列A003035).

n 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
t3果園(n) 1 2 4 6 7 10 12 16 19 22 26

上極限和下極限编辑

由于没有两个直线可以共同經過两个不同点,一个平凡的3点线的数量上限由以下n点的情況确定

 

事实是数的2点线至少是6n/13 (Csima & Sawyer 1993),该上限可以降低到

 

t3果園(n)的下限由通过定点的许多的3点线的構造給出。最早的二次方程式下限-(1/8)n2西尔维斯特給出,他在三次曲线y = x3放了n個点。这在1974年由 Burr, Grünbaum, and Sloane (1974采用一个魏爾斯特拉斯橢圓函數基础上的结构改善至[(1/6)n2 − (1/2)n] + 1。一個Füredi & Palásti (1984)建立的圆内螺线基本的構造取得了相同的下限。

在2013年九月, Ben Green和陶哲轩發表的一篇论文中,他们证明了所有的点集必然的大小,n > n0,至多有([n(n - 3)/6]  + 1) = [(1/6)n2 − (1/2)n + 1] 3点线,其中相應的下限由Burr, Grünbaum和Sloane確立。[2] 這有一個比直接从他們的紧的下限得出的2点线的數n/2要略胜一筹的極限:[n(n − 2)/6],分別由Gabriel Andrew Dirac和Theodore Motzkinproved 在相同的论文中和解决一個1951問題以独立地身份证明。

注釋编辑

  1. ^ The Handbook of Combinatorics, edited by László_Lovász, {葛立恒, et al, in the chapter titled Extremal Problems in Combinatorial Geometry by Paul_Erdős and George_B._Purdy英语George_B._Purdy.
  2. ^ Green & Tao (2013)

参考文献编辑

外部連結编辑

  1. ^ Green, Ben; Tao, Terence, On sets defining few ordinary lines, Discrete and Computational Geometry, 2013, 50 (2): 409–468, doi:10.1007/s00454-013-9518-9