艾森斯坦級數

數學中,艾森斯坦級數是一類可直接表成級數模形式,由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數编辑

固定整數  。對上半平面上的複數  ,定義艾森斯坦級數  

 

此級數是上半平面上的全純函數,此外它更是模群   的權   模形式。換言之,若   滿足  ,則

 

遞迴關係编辑

模形式理論中的一個基本事實是:模群   的模形式俱可表為   多項式。作為特例,以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成   的多項式。

 ,遂有下述關係式:

 

在此  二項式係數  

函數   可以表示魏爾斯特拉斯   函數:

 

傅立葉展開编辑

 。由於艾森斯坦級數是模群的模形式,故有傅立葉展開式

 

其中的傅立葉係數  

 

此處的  伯努利數 黎曼ζ函數,而    的正因數  次冪和。

 
 

 ,對   之和亦可化成蘭伯特級數

 

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數:

 

拉馬努金公式编辑

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式:定義

 
 
 

則有

 
 
 

文獻编辑

  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
  • Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
  • Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.