打开主菜单

范德蒙恒等式是一个有关组合数的求和公式。

证明编辑

组合方法编辑

甲班有  个同学,乙班有  个同学,从两个班中选出  個同學有 种方法。

从甲班选  名,从乙班选  名有 种方法,考虑所有情况 ,从两个班中合計  选出個同學有  种方法。

所以  [1]

母函数方法编辑

注意到

 

等號左邊化簡成

 

等號右邊則根據定義

 

比較  係數,可得

 [1]

推广编辑

多变量型编辑

 

其中 [2]

展开 可得以上结论。

超几何函数编辑

范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。

  [3]

 

 

参考资料编辑

  1. ^ 1.0 1.1 李松槐 杨伏香. 用数学模型证明范得蒙(Vandermonde)恒等式. 河南教育学院学报(自然科学版). 1999, (2). 
  2. ^ Hac`ene Belbachir. A combinatorial contribution to the multinomial Chu-Vandermonde convolution (PDF). RECITS Laboratory. 2014. 
  3. ^ Bailey, W.N. Generalized Hypergeometric Series (PDF). Cambridge University Press. 1935 [2018-06-12]. (原始内容 (PDF)存档于2017-06-24).