范德蒙恆等式

范德蒙恆等式(英文:Vandermonde's Identity)是一個有關組合數的求和公式。

證明

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組合方法

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甲班有  個同學,乙班有  個同學,從兩個班中選出  個同學有 種方法。

從甲班選  名,從乙班選  名有 種方法,考慮所有情況 ,從兩個班中合計  選出個同學有  種方法。

所以  [1]

母函數方法

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注意到

 

等號左邊化簡成

 

等號右邊則根據定義

 

比較  系數,可得

 [1]

推廣

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多變量型

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其中 [2]

展開 可得以上結論。

超幾何函數

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范德蒙恆等式是超幾何函數的一個整數特例。

  [3]

 

 

參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 李松槐 楊伏香. 用数学模型证明范得蒙(Vandermonde)恒等式. 河南教育學院學報(自然科學版). 1999, (2) [2015-09-20]. (原始內容存檔於2020-01-15). 
  2. ^ Hac`ene Belbachir. A combinatorial contribution to the multinomial Chu-Vandermonde convolution (PDF). RECITS Laboratory. 2014 [2018-06-12]. (原始內容 (PDF)存檔於2020-11-30). 
  3. ^ Bailey, W.N. Generalized Hypergeometric Series (PDF). Cambridge University Press. 1935 [2018-06-12]. (原始內容 (PDF)存檔於2017-06-24).