莱夫谢茨对偶

在数学上，莱夫谢茨对偶是庞加莱对偶的一种拓展，使得最初的庞加莱对偶可以作用于带边流形 。它最初由莱夫谢茨于1926年提出。

定理（莱夫谢茨对偶）

令 $M$ 是 ${\textstyle n}$ 维可定向紧流形，边界为 $N$ ，令 $z$ 为$M$ 的定向所決定的基本类。与 $z$ 的杯积诱导了 $M$ 的（上）同调群和 $(M,N)$ 的相对（上）同调群的配对；由此便可得到

$$H^{k}(M,N)\cong H_{n-k}(M)$$

与

$$H_{k}(M,N)\cong H^{n-k}(M)$$

这里的 ${\textstyle N}$ 实际上可以是空的，此时，莱夫谢茨对偶退化为庞加莱对偶。

实际上，若 ${\textstyle N}$ 可以分解为具有共同边界的两个可定向紧流形 ${\textstyle A}$、${\textstyle B}$，则有下式：

$$D_{M}:H^{p}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-p}(M,B;\mathbb {Z} ).$$