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数学上(特别是代数拓扑抽象代数),同调 (homology,在希腊语homos = 同)是一类将一个可换群或者序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者)联系起来的过程。背景知识请参看同调论

对于一个特定的拓扑空间,同调群通常比同伦群要容易计算得多,因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

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同调群的构造编辑

其过程如下:给定对象 ,首先定义链复形,它包含了 的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模 的序列,群同态 满足任何两个相连的同态的复合为0:  对于所有n成立。这意味着第n+1个映射的包含在第n个映射的中,我们定义X的第n阶同调群因子群(因子模)

 

链复形称为正合的,如果(n + 1)阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此 的同调群是 所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

非正式的例子编辑

非正式地,拓扑空间X的同调是X拓扑不变量的集合,用其同调群来表示

 

其中第k个同调群 描绘了X中的k维洞。0维洞即为两个连通分支的间隔,因此 描绘了X中的路径连通分支。[1]

 
圆,或称为1维球面 

一维球面  是一个。它有单个连通分支和一个一维洞,但没有更高维洞。其对应的同调群由下式给出

 

其中 为整数群, 平凡群。群 表示一个有限生成阿贝尔群,其唯一的生成元表示圆中包含的一维洞。[2]

 
2维球面 即球的球壳,不包括球的内部。

二维球面 拥有1个连通分支,0个一维洞,1个二维洞,无更高维的洞。其对应的同调群为[2]

 

一般地,对n维球面Sn,其同调群为

 
 
实心盘,即2维球 

二维B2是一个实心盘。 它具有单个路径连通的分支,但与圆不同的是,它没有一维或更高维的洞。其对应的同调群除了 以外均为平凡群。

 
环面 

环面被定义为两个圆 笛卡尔积。环面具有一个路径连通的分支,两个独立的一维洞(在图中以红圈和蓝圈分别标出),以及一个二维洞(环面的内部)。其对应的同调群为[3]

 

两个独立的一维洞组成了一个有限生成阿贝尔群的独立生成元,表示为笛卡尔积群 .

例子编辑

导致引入这个概念的例子是代数拓扑单纯复形 单纯同调 在这里就是 中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射,它将单纯形

 

映射为如下的和

 

如果我们将模取在一个域上,则 n阶同调的维数就是 n维的洞的个数。

仿照这个例子,可以定义任何拓扑空间 的奇异同调。我们定义 的上同调的链复形中的空间为 为自由可换群(或者自由模),其生成元为所有从n单纯形 连续函数。同态 从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中,同调用于定义导出函子,例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子 和某个模 开始。 的链复形定义如下:首先找到一个自由模 和一个同态 。然后找到一个自由模 和一个满同态 。以该方式继续,得到一个自由模 和同态 的序列。将函子 应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调 仅依赖于  ,并且按定义就是 作用于 n阶导出函子。

同调函子编辑

链复形构成一个范畴:从链复形 到链复形 的态射是一个同态的序列 ,满足 对于所有n成立。n阶同调  可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子

若链复形以协变的方式依赖于对象 (也就是任何态射 诱导出一个从 的链复形到 的链复形的态射),则 是从 所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于 ,因此其同调群(在这个情况下称为上同调群并记为 )构成从 所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质编辑

 是链复形,满足出有限个 外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义欧拉示性数

 

(可换群采用而向量空间的情况采用哈默尔维数)。事实上在同调的层次上也可以计算:

 

并且,特别是在代数拓扑中,这提供了两个计算产生链复形的对象 的重要的不变量 .

每个链复形的短正合序列

 

导致一个同调群的长正合序列

 

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出,除了映射 之外。后者称为 连接同态,有蛇引理给出。

参看编辑