Tor函子

交換代數中,Tor 函子張量積導函子。此函子起初是為了表述代數拓撲中的 Künneth 定理與普遍係數定理而定義。

定義编辑

 。令   為左  -模範疇、   為右  -模範疇(若  交換環,則兩者等價)。固定一對象  ,考慮函子

 

這是從  阿貝爾群範疇   的右正合函子(若   為交換環,則它是映至   的右正合函子),因此能考慮其左導函子  ,記為  

換言之,對任一左  -模  射影分解

 

去掉尾項  ,並對   取張量積,得到鏈複形

 

並取其同調群,則得到  

此外,Tor 函子也能以   的左導函子定義,兩種定義給出自然同構的函子。

性質编辑

  • Tor 函子與直和交換:
 
  • 對任何    是從   加法函子。若   是交換環,則它是從    的加法函子。
  • 依據導函子性質,每個短正合序列   導出長正合序列
 
對第二個變數亦同。
  •   為交換環,  非零因子,則
 
這是 Tor 函子的詞源。
  • 由於阿貝爾群皆有長度不超過二的自由分解(因為自由阿貝爾群的子群皆為自由的),此時對所有  ,有  

譜序列编辑

  為交換環,  -模,並固定一個環同態  。我們有雙函子的自然同構:

 

由此導出格羅滕迪克譜序列:對任何  -模  ,有譜序列

 

與平坦模的關係编辑

一個右  -模是平坦模的充要條件是  。此時可推出  。左  -模的情況準此可知。事實上,計算 Tor 函子時可以用平坦分解代替射影分解;凡射影分解必為平坦分解,反之則不然;平坦分解在技術上較富彈性。

文獻编辑

  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1