萊布尼茨函數

仿射幾何歐氏幾何中,萊布尼茨向量和標量函數是把點對應到向量或數量的函數。這種函數和重心關係密切;用重心可以給出函數的簡潔形式。

萊布尼茨向量函數编辑

考慮仿射空間 和相伴的向量空間 。設  點的族,  數量的族。與系統 相伴的萊布尼茨向量函數是從  的映射,把點 對應到向量 

設係數和 為零,那麼函數是常值。如果有一個係數非零(例如 ),這常值等於 ,其中 是系統 的重心。

設係數和非零,函數可化簡成

 

這個性質使得多個向量的線性組合可以藉由重心化簡成一個向量。如果向量空間是有限維,由此可以給出重心的座標。

其實 

把上式轉為座標就是

 

萊布尼茨標量函數编辑

考慮歐幾里得仿射空間 和相伴的域 。設  點的族,  數量的族。與系統 相伴的萊布尼茨標量函數,是從  的映射,把點M對應到數量 

設係數和 為零,那麼函數可化簡成

 

其中 等於與這系統相伴的萊布尼茨向量函數的常值, 是任意固定點。

設係數和非零,那麼函數可化簡成

 

其中 是系統 的重心。

這個化簡令點的位置問題可以很容易解決(見萊布尼茨定理)。

:在2維情形,集 適合 的是

  • 當係數和為零
    •  垂直的直線,如果 非零
    • 整個平面或空集(取決於 的值),如果 為零
  • 當係數和非零
    • 圓心為 的圓,點 或空集(取決於 的值)

參見编辑