线性组合

線性組合（英语：Linear combination）是線性代數中具有如下形式的表达式。其中$v_{i}$为任意类型的项，$a_{i}$为标量。這些純量稱為線性組合的係數或權。

$w=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$

定義

$S$為一向量空間$V$（附於體$F$）的子集合。

如果存在有限多個向量屬於$S$，和對應的純量$a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k}$屬於$F$，使得$v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}$，則稱$v$是$S$的線性組合。

規定：$0$向量是空集合的線性組合。

线性生成

主条目：线性生成空间

S 為域 F 上向量空間 V 的子集合。

所有 S 的有限線性組合構成的集合，稱為 S 所生成的空間，記作 span(S)。

任何 S 所生成的空間必有以下的性質：

1. 是一個 V 的子空間（所以包含0向量）

2. 幾何上是直的，沒有彎曲（即，任兩個 span(S) 上的點連線延伸，所經過的點必也在 span(S) 上）

另见

• 凸组合
• 仿射组合：系数之和为1的线性组合