西姆松定理

Pedal line illustration.svg

西姆松定理說明:有三角形,平面上有一點在三角形三邊上的投影(即由到邊上的垂足)共線(此線稱為西姆松線或譯「西摩松線」, Simson line)若且唯若在三角形的外接圓上。

相關的結果有:

  • 稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點,且這點在九點圓上。
  • 兩點的西姆松線的交角等於該兩點的圓周角。
  • 若兩個三角形的外接圓相同,這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角,跟P的位置無關。

证明编辑

如图,若L、M、N三点共线,连结BP,CP,则因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆,有

角PBN = 角PLN = 角PLM = 角PCM

故A、B、P、C四点共圆。

若A、B、P、C四点共圆,则角PBN = 角PCM。因PL垂直于BC,PM垂直于AC,PN垂直于AB,有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆,有

角PLN = 角PBN = 角PCM = 角PLM

故L、M、N三点共线。

参见编辑

外部連結编辑