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实分析数学分析中,达布积分是一种定义一个函数的积分的方法,它是通过达布和构造的。达布积分和黎曼积分是等价的,也就是说,一个实值函数是达布可积的当且仅当它是黎曼可积的,并且积分的值相等。达布积分的定义比黎曼积分简单,并且更具操作性。达布积分的名字来自于数学家让·加斯东·达布(Jean Gaston Darboux)。

目录

区间的分割编辑

一个闭区间 的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列 。每个闭区间 叫做一个子区间。定义  为这些子区间长度的最大值: ,其中 

再定义取样分割。一个闭区间 的一个取样分割是指在进行分割 后,于每一个子区间中 取出一点   的定义同上。

精细化分割:设 以及 构成了闭区间 的一个取样分割,  是另一个分割。如果对于任意 ,都存在 使得 ,并存在 使得 ,那么就把分割:  称作分割  的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。

达布和编辑

  为一个有界函数,又设

 

是闭区间 的一个分割。令:

 
 
 
下(绿色)和上(淡紫色)达布和

 在分割 下的上达布和定义为:

 

同样的有下达布和的定义:

 

 上达布积分指的是所有上达布和的下确界

 是闭区间 的一个分割 

同样的 下达布积分指的是所有下达布和的上确界

 是闭区间 的一个分割 

如果 那么 就称作达布可积的,并用 表示,记作 在区间 的达布积分。

性质编辑

  • 对于任何给定的分割,上达布和永远大于等于下达布和。此外,下达布和被限制在以(b-a)为宽,以inf(f)为高的矩形下,占据[a,b]。同样,上达布和被限制在以(b-a)为宽,以sup(f)为高的矩形上。
 
  • 下达布和和上达布和满足
 
  • 对处于(a,b)的任意c
 
  • 下达布积分和上达布积分不必要是线性的。令g:[a,b]→R是一个有界函数,则上达布积分和下达布积分满足下面的不等关系。
 
  • 对于一个常数c ≥ 0 我们有
 
  • 对于一个常数c ≤ 0 我们有
 
  • 考虑函数F:[a,b]→R定义为
 

那么F利普希茨连续的。当F是用达布积分定义的,一个相似的结论也成立。

例子编辑

一个达布可积函数编辑

假设我们想证明函数f(x) = x在区间[0,1]上是达布可积的,并且确定它的值。我们需要把区间[0,1]分割为n个等大的子区间,每个区间长度为1/n。我们取n个等大的子区间中一个作为Pn

现在因为f(x) = x在[0,1]上严格单增,在任意一个特定子区间上的下确界即它的起点。同样,在任意一个特定子区间上的上确界即它的终点。在Pn中第k个子区间的起点是(k-1)/n,终点是k/n。那么在一个分割Pn上的下达布和就是

 

类似地,上达布和为

 

由于

 

则对于任意ε > 0,我们得到对于n > 1/ε的任何分割Pn都满足

 

得证f是达布可积的。要找到这个积分的值需要注意到

 

一个不可积函数编辑

如果我们有函数f:[0,1]→R定义为

 

由于有理数和无理数都是R稠密子集,因而断定f在任何分割的任何子区间只能取0或1。所以对于任意分割P我们有

 

从中我们可以看出上下达布和不等。

黎曼积分的关系编辑

 
对于更精细的分割,上达布和减小,下达布和变大

如果分割 比分割 “精细”,那么有  以及  。这是因为 实际上是将 中的若干个子区间再做分割,而分割后的子区间上 的上(下)确界必然比原来区间的上(下)确界小(大)。(见图)

如果 是同一个区间的两个分割(不一定要一个比另一个“精细”),那么

 .

所以,

 

显然,一个分割的黎曼和一定介于对应的上达布和与下达布和之间。正规的说,如果

 

并且

 

共同构成区间上的一个取样分割

 

(正如黎曼积分的定义中那样),对应PT的黎曼和为 R,就有

 

由上可以看出,黎曼积分的第二个定义与达布积分的定义等价(见黎曼积分)。如果一个函数 在区间 的达布积分存在,那么一个对于足够精细的分割,上达布和与下达布和之间的差将能够无限趋近于0(都趋近于共同的极限),因此比其更为精细的分割,黎曼和将介于上达布和与下达布和之间,于是趋于一个极限。同时,注意到对于一个分割,我们可以适当取样使得取样的函数值趋于上(下)确界(由确界的定义)。这表明如果黎曼和趋于一个定值,则上下达布和之间的差将趋于0,也就是说达布积分存在。

参见编辑