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阿廷環抽象代數中一類滿足降鏈條件,以其開創者埃米爾·阿廷命名。

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定義编辑

一個環 稱作阿廷環,若且唯若對每個由 理想構成的降鏈 ,必存在 ,使得對所有的 都有 (換言之,此降鏈將會固定)。

將上述定義中的理想代換為左理想或右理想,可以類似地定義左阿廷環與右阿廷環,A是左(右)阿廷環若且唯若A在自己的左(右)乘法下形成一個左(右)阿廷模;對於交換環則無須分別左右。

例子编辑

  •  為一個,若環 是佈於 上的有限維代數,則 是阿廷環。

基本性質编辑

若一個環 是交換阿廷環,則滿足下列性質:

  •  諾特環
  • 每個素理想皆是極大理想
  •  僅有有限個素理想。
  • 對每個素理想的局部化誘導出同構  

代數幾何的觀點,阿廷環的在拓樸上只是有限多個點,但其結構層可能帶有冪零的元素,這就使得局部阿廷環成為描述無窮小變化量的代數語言。

文獻编辑

  • Charles Hopkins. Rings with minimal condition for left ideals. Ann. of Math. (2) 40, (1939). 712--730.
  • Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X