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數學中,齐次函数是一個有倍數性質的函數:如果变數乘以一個係數,則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

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正式定义编辑

假设  内的两个向量空间之间的函数。

我们说 是“ 次齐次函数”,如果对于所有非零的  ,都有:

 

即是,在歐幾里得空間 , 其中 指數函數

例子编辑

  • 线性函数 是一次齐次函数,因为根据线性的定义,对于所有的  ,都有:
 
  • 多线性函数 是n次齐次函数,因为根据多线性的定义,对于所有的  都有:
 
  • 从上一个例子中可以看出,两个巴拿赫空间  之间的函数  弗雷歇导数 次齐次函数。
  •  单项式定义了齐次函数 

例如:

 

是10次齐次函数,因为:

 
  • 齐次多项式是由同次数的单项式相加所组成的多项式。例如:
 

是5次齐次多项式。齐次多项式可以用来定义齐次函数。

基本定理编辑

  • 欧拉定理:假设函数 可导的,且是 次齐次函数。那么:
 

这个结果证明如下。记 ,并把以下等式两端对 求导:

 

利用复合函数求导法则,可得:

 

因此:

 

以上的方程可以用劈形算符写为:

 

 ,定理即得证。

  • 假设 是可导的,且是 阶齐次函数。则它的一阶偏导数  阶齐次函数。

这个结果可以用类似欧拉定理的方法来证明。记 ,并把以下等式两端对 求导:

 

利用复合函数求导法则,可得:

 

因此:

 

所以

 .

用于解微分方程编辑

对于以下的微分方程

 

其中  是同次数的齐次函数,利用变量代换 ,可以把它化为可分离变量的微分方程

 

参考文献编辑

  • Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 (德语). 

外部链接编辑