齊次函數

在數學中，齊次函數（英語：Homogenous）是一個有倍數性質的函數：如果變數乘以一個系數，則新函數會是原函數再乘上系數的某次方倍。

正式定義

假設$f:V\rightarrow W$是域$F$內的兩個向量空間之間的函數。

我們說$f$是「$k$次齊次函數」，如果對於所有非零的$\alpha \in F$和$\mathbf {v} \in V$，都有：

$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )$

即是，在歐幾里得空間，$f(\alpha \mathbf {v} )=f(k)\ f(\mathbf {v} )$， 其中$f(k)$為指數函數。

例子

• 線性函數$f:V\rightarrow W$是一次齊次函數，因為根據線性的定義，對於所有的$\alpha \in F$和$\mathbf {v} \in V$，都有：
  $$f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$$
• 多線性函數$f:V_{1}\times \ldots \times V_{n}\rightarrow W$是n次齊次函數，因為根據多線性的定義，對於所有的$\alpha \in F$和$\mathbf {v} _{1}\in V_{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V_{n}$都有：
  $$f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})$$
• 從上一個例子中可以看出，兩個巴拿赫空間$X$和$Y$之間的函數$f:X\rightarrow Y$的$n$階弗雷歇導數是$n$次齊次函數。
• $n$元單項式定義了齊次函數$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$。

例如：

$f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}$

是10次齊次函數，因為：

$(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}$。

• 齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。例如：

$x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$

是5次齊次多項式。齊次多項式可以用來定義齊次函數。

基本定理

• 歐拉定理：假設函數$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$是可導的，且是$k$次齊次函數。那麼：

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad$。

這個結果證明如下。記$f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$，並把以下等式兩端對$\alpha$求導：

$f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

利用複合函數求導法則，可得：

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial \alpha {x_{n}}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha x_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$，

因此：

$x_{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{1}}}f(\alpha \mathbf {x} )+\cdots +x_{n}{\frac {\partial }{\partial \alpha x_{n}}}f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {x} )$。

以上的方程可以用劈形算符寫為：

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=k\alpha ^{k}f(\mathbf {x} ),\qquad \nabla =({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}})$，

當$\alpha =1$，定理即得證。

• 假設$f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$是可導的，且是$k$階齊次函數。則它的一階偏導數$\partial f/\partial x_{i}$是$k-1$階齊次函數。

這個結果可以用類似歐拉定理的方法來證明。記$f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(\mathbf {x} )$，並把以下等式兩端對$x_{i}$求導：

$f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

利用複合函數求導法則，可得：

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(\alpha x_{i})=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x_{i}}}(x_{i})$，

因此：

$\alpha {\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$

所以

${\frac {\partial }{\partial \alpha x_{i}}}f(\alpha \mathbf {x} )=\alpha ^{k-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {x} )$.

用於解微分方程

對於以下的微分方程

$I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,$

其中$I$和$J$是同次數的齊次函數，利用變量代換$v=y/x$，可以把它化為可分離變量的微分方程：

$x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v$。

參考文獻

• Blatter, Christian. 20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.. Analysis II (2nd ed.). Springer Verlag. 1979: p. 188. ISBN 3-540-09484-9 （德語）.  引文格式1維護：冗餘文本 (link)

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (編), Homogeneous function, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Homogeneous function. PlanetMath.