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橫軸為1, 2, 3, 4, ⋯,縱軸為相應於橫軸的級數1 + 2 + 3 + 4 + ⋯之部分和。圖中曲線為平滑後之漸近線,其與縱軸相交的截距值為−112

無窮級數1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和,是一个发散级数,其數學式也寫作

此級數前 n 项的部分和即是三角形數

尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透過黎曼ζ函數正規化英语Zeta function regularization拉馬努金求和等方法可產生一有限值 ,表示為:

此結果在复分析量子力学弦理论等領域中有所应用。

部分和公式的证明编辑

 
前六個三角形數
 
海什木(Alhazen)的正整數和公式推導。

自然数從 1 加到 n 的和是   能用许多方法证明。首先令

 

我们将这些项重排反着写:

 

将两者相加,对应项相加,我们得到

 
 
 
 

ζ函数的求和与解析连续性编辑

s 的实部大于 1,s 次方的黎曼ζ函数等于求和  。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散,但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为  

1 + 2 + 3 + 4 + … 的和不存在,但拉马努金另外給其定義,其拉马努金和 [1]

物理编辑

玻色弦理論中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为 一组   无关量子谐振子,这里   是时空的维数。如果基本振子频率是   则一个振子对   级谐波的贡献是  。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是  。最后这确实是正确的,与Goddard–Thorn theorem英语no-ghost theorem一起,导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。

一个类似的计算是计算卡西米尔力

历史编辑

拉马努金写给戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中(日期为1913年2月27日):

“亲爱的先生,我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复,类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布羅米奇英语Thomas John l'Anson Bromwich的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他,在我的理论中一个无穷数列  。如果我告诉你这个,你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信,如果我暗示我只在一封信中所写的行数,你不可能找出我证明的方法。」[2]

注释编辑

  1. ^ Hardy p.333
  2. ^ Berndt et al p.53. "Bromwich" 处链接为编辑所加并作了一些版式改动。

引用编辑

延伸阅读编辑

外部链接编辑