Agda 是一个依赖类型纯函数式编程语言。目前的版本,Agda 2,最初由瑞典查尔摩斯工学院的 Ulf Norell 作为博士论文课题设计并实现[2]。先前的版本 Agda 1 由 Catarina Coquand 在 1999 年开发,而现今的版本则是对其的彻底重写,因此可视作一个全新的语言,但保留了 Agda 的命名和传统。

Agda
Agda's official logo.svg
编程范型函数式编程
設計者Ulf Norell(2.0版)
Catarina Coquand(1.0版)
實作者Ulf Norell(2.0版)
Catarina Coquand(1.0版)
发行时间2007年,​14年前​(2007(2.0版)
1999年,​22年前​(1999(1.0版)
穩定版本
2.6.1
( 2020年3月16日 (2020-03-16)
型態系統静态类型强类型依赖类型
作業系統跨平台
許可證MITBSD-like[1]
文件扩展名.agda.lagda
網站Agda wiki
啟發語言
CoqEpigram英语EpigramHaskell
影響語言
Idris

Agda 的类型系统体现了柯里-霍华德同构(Curry-Howard correspondence),因此亦可作为一个构建构造性证明证明辅助工具英语Proof assistant。它的类型理论基于 Zhaohui Luo 提出的 UTT(unified theory of dependent types)[3],与 Per Martin-Löf直觉类型论相似。

Agda 与另一个基于依赖类型的证明辅助工具 Coq 设计上存在着显著的不同之处:它本身并不提供单独的证明策略语言(tactics),所有的证明均以函数式编程的方式书写;Agda 拥有许多常规的函数式程序语言要素,诸如:数据类型(data types)、模式匹配(pattern matching)、记录类型(records)、let表达式和模块(modules)等,而其语法设计则高度仿照 Haskell 语言。

用户可通过 EmacsAtom 编辑器的界面与 Agda 系统进行交互[4]。Agda 系统亦可藉由命令行单独调用。

通过类型检查的 Agda 程序可以被编译到 Haskell,并由 GHC 编译器最终编译为可执行的本地机器码;亦有编译到 JavaScript 的后端实现。

Agda 的名字来自于一首由音乐家 Cornelis Vreeswijk 创作的瑞典语歌曲“Hönan Agda”,歌词讲述了一只名叫 Agda 的母鸡的故事。这实际上影射了 Coq(Coq 在法语中意为公鸡)。

简介编辑

一个简单的“Hello world”程序编辑

将下述程序保存于文件hello-world.agda中:

module hello-world where

open import IO

main = run (putStrLn "Hello, World!")

在 Emacs 中可使用 C-c C-x C-c 来编译此程序;或在命令行中执行agda --compile hello-world.agda进行编译。

几点解释:

  • Agda 程序以模块(module)的形式组织而成。每一个文件中的第一个模块称之为最高级别(top-level)模块,其名称必须和文件名相符。模块的内容可以包括数据类型的定义、函数的定义等。
  • 外部模块可以通过import子句导入。例如在上述程序中,open import IO导入 Agda 标准库中的IO(标准输入输出)模块,并将其在当前作用域中打开。
  • 一个导出了函数名及类型签名main : IO a的模块即可以被编译成可执行文件。例如,上述程序中的main函数作用是将字符串“Hello, World!”写到标准输出,之后退出程序。

归纳类型(inductive types)编辑

在 Agda 中定义数据类型的方式与其它(非依赖类型)编程语言中的代数数据类型相似。 例如,在 Agda 中归纳地定义皮亚诺数

data: Set where
  zero :succ :

这表明存在两种形式可以用来构造一个自然数:首先,zero 是一个自然数;若已知 n 是一个自然数,则 succ n 也必定是一个自然数。

又如,Agda 中对小于或等于关系的定义:

data _≤_ : Set where
  z≤n : {n :}  zero ≤ n
  s≤s : {n m :}  n ≤ m  succ n ≤ succ m

第一处构造(z≤n)指出:zero 必定小于或等于任何自然数;第二处构造(s≤s)指出:当 n <= m 时必定有 succ n <= succ m。 例如,考虑z≤n {succ zero},依照定义,它是对零小于一的证明;再考虑s≤s {zero} {succ zero} (z≤n {succ zero}),则是对一小于二的证明。

依赖类型模式匹配(dependently typed pattern matching)编辑

在类型论中,归纳和递归原则通常被用来证明涉及到归纳类型的定理。Agda 则使用依赖类型模式匹配来达到此目的。例如,自然数的加法可被定义为:

add zero n = n
add (succ m) n = succ (add m n)

比起运用归纳/递归原则,直接定义递归函数更加简单直观。依赖类型模式匹配是 Agda 内置的语言特性之一;其核心类型论并没有包含归纳/递归原则。

记录类型(records)编辑

除了归纳类型之外,Agda 还支持记录类型。记录的作用是将若干类型的值包装在一起,并使用不同名称标识不同的域;它可看作是对依赖乘积类型(dependent product types)的推广。 例如,在 Agda 中定义一个值对(pair):

record Pair (A B : Set) : Set where
  field
    fst : A
    snd : B

以上代码定义了一个新的数据类型Pair : Set → Set → Set,以及两个投影函数:

Pair.fst : {A B : Set}  Pair A B  A
Pair.snd : {A B : Set}  Pair A B  B

记录类型的值可以使用记录表达式来创建,如:

p12 = record { fst = 1; snd = 2 }

若在定义记录类型时使用constructor关键字规定了构造器,则亦可直接使用相应的构造器来创建记录,如:

record Pair (A B : Set) : Set where
  constructor _,_
  field
    fst : A
    snd : B

p34 : Pair Nat Nat
p34 = 3 , 4

元变量(metavariables)编辑

Agda 和其他类似的交互式证明系统(如 Coq)相比,一个显著的特性是在证明构造中对元变量的大量利用。

例如,在 Agda 中可以写出如下函数:

add : ℕ 
add x y = ?

“?”即是一个元变量。在 Emacs mode 中交互时,系统会提示用户所期望的类型,允许用户进一步添加具体代码到其中。该特性为渐进式程序构造提供了支持,从而达到与 Coq 的证明策略(tactics)类似的意图。

证明自动化和反射(reflection)编辑

宇宙(universe)编辑

高阶归纳类型(higher inductive types)编辑

终止检查(termination checking)编辑

作为一个定理证明系统,Agda 语言中的定义必须是完整(total)的。所有的程序必须终止,所有的模式必须得到匹配。若无法保证定义的完整性,其类型论背后所对应的逻辑将失去一致性,导致假命题可以被证明。

目前 Agda 使用 Foetus 终止检查器。

Unicode编辑

Agda 语言大量吸收了 Unicode 字符集中的数学符号,这使得其证明更具可读性。Agda 的 Emacs mode 中提供了输入这些符号的快捷键;这仿照 TeX 中书写数学符号的形式。例如,输入 Σ 可以使用 \Sigma

标准库编辑

Agda 的标准库包含了一些常见数据结构的定义和相关的定理证明,例如自然数、列表(lists)与矢量(vectors)。

编译器编辑

Agda 目前具备两个官方的编译器后端:编译到 Haskell 的 MAlonzo 后端;和另一个编译到 JavaScript 的后端。


参见编辑

参考文献编辑

  1. ^ Agda license file
  2. ^ Ulf Norell. Towards a practical programming language based on dependent type theory. PhD Thesis. Chalmers University of Technology, 2007. [1]页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Luo, Zhaohui. Computation and reasoning: a type theory for computer science. Oxford University Press, Inc., 1994.
  4. ^ Coquand, Catarina; Synek, Dan; Takeyama, Makoto. An Emacs interface for type directed support constructing proofs and programs (PDF). European Joint Conferences on Theory and Practice of Software 2005. [2013-12-24]. (原始内容 (PDF)存档于2011-07-22). 

外部链接编辑