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在数学中,构造性证明证明方法的一种,通过直接或间接构造出具有命题所要求的性质的实例来完成证明。与构造性证明相对的概念是非构造性证明(有时也称为存在性证明或纯粹存在性证明)。后者只证明满足命题要求的物体存在,而不提供具体的实例或构造这样的实例的方法。

构造性证明也可以指数学构成主义中被认可的一种更强的证明。数学构成主义是数学哲学的一支,它认为要证明一个对象的存在,必须将其构造出来。因此,他们拒绝使用如排中律无穷公理选择公理这样的公理。同时也有一些用语和以往不同,例如或("or")的语意会比传统数学中的更强。

数学构成主义拒绝使用反证法,然而爆炸原理在一些数学构成主义的变体中是被接受的,包括直觉主义

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历史上的例子编辑

直到十九世纪结束,所有的数学证明使用的还是构造性证明。第一个使用非构造性方法的是格奥尔格·康托尔无限集合理论,以及对实数的形式化定义.

初次使用非构造性证明解决之前的问题的例子,被认为是希尔伯特零点定理希尔伯特基定理。(由于笔者并未完全理解,此段可参见英文维基。)

例子编辑

非构造性证明编辑

考虑对质数有无穷个的证明。欧几里得证明本身是构造性的,不过有一种常用的方法来简化欧几里得的证明,它先假设质数的数量是有限的,那么必然会有一个最大的质数,将它记为n。然后考虑n! + 1(n阶乘加1),这个数字要么本身是质数,要么是合数且存在一个大于n的质因子,因为小于等于n的质数除它都余1。通过得出和命题的假设矛盾的结论,我们并不需要指出一个确定的质数,就可以证明存在一个大于n的质数。

再考虑证明这个命题:“存在无理数  ,使 有理数”。这个证明可以被构造性地证明,也可以被非构造性地证明,我们将对比两种证明方式。

以下证明是1953年由Dov Jarden提出的,最晚从1970年开始被用作非构造性证明的经典例子:[1][2]

CURIOSA
339. 对一个无理数的无理数次方可以是有理数的简单证明
 要么是有理数,要么是无理数。如果它是有理数,那么我们的命题得证。如果它是无理数, ,我们的命题得证。
     Dov Jarden     Jerusalem

更具体地:

  • 我们在先前已经知道 是无理数,2是有理数。考虑数字 ,它要么是有理数,要么是无理数。
  • 如果 是有理数,那么原命题成立,此时  都是 
  • 如果 是无理数,那么原命题也成立,此时    ,由于:
 

这个证明是非构造性的,因为它依赖了这样的陈述:“q要么是有理数,要么是无理数”,这是排中律的一个应用,而构造性证明里排中律是无效的。这个非构造性证明并没有构造一个实际的ab,它只是考察了由排中律给出的两种可能性。我们并不知道这两种可能性哪个是真实的, 究竟是不是无理数。

实际上根据格尔丰德-施奈德定理,我们可以得知 是一个无理数,但是它和这个非构造性证明的正确性无关。

构造性证明编辑

对上面的例子,构造性证明会给出一个实际的例子,如:

 

已知2的算术平方根是无理数,而3是有理数。 同样是无理数,因为如果他可以写作 ,那么根据对数运算法则,9n会等于2m,然而前者是奇数,后者是偶数(奇数的整数次方还是奇数,偶数的整数次方还是偶数)。

参见编辑

  • ^ J. Roger Hindley, "The Root-2 Proof as an Example of Non-constructivity", unpublished paper, September 2014, full text 互联网档案馆存檔,存档日期2014-10-23.
  • ^ Dov Jarden, "A simple proof that a power of an irrational number to an irrational exponent may be rational", Curiosa No. 339 in Scripta Mathematica 19:229 (1953)